روابط ۳–۱ تا ۳–۳ نشان‌دهنده مسأله سطح بالا و روابط ۳–۴ تا ۳–۱۸ نشان‌دهنده مسأله سطح پایین است. مسأله سطح بالا به قیود ۳–۲، ۳–۳ و مسأله سطح پایین مقید است. در سطح پایین، بردار ضرایب لاگرانژ قیود تساوی برابر است با:
بردار ضرایب لاگرانژ قیود نامساوی برابر است با:
ضرایب لاگرانژ هریک از قیود تساوی و نامساوی در روابط ۳–۵ تا ۳–۱۸ پس از معادله و علامت دونقطه آورده شده است.
در مسأله بهینهسازی دوسطحی فوق، اگرچه مسأله بهینهسازی سطح پایین به متغیر بهینهسازی مسأله سطح بالا یعنی وابسته است ولی این متغیر در سطح پایین به‌صورت پارامتر در نظر گرفته می شود؛ زیرا متغیر تصمیم مسأله سطح پایین نیست. بنابراین حاصل‌ضرب در تابع هدف مسأله سطح پایین در رابطه ۳–۴، سبب غیرخطی شدن این رابطه نمی‌شود (به رابطه ب-۴۴ پیوست ب نگاه کنید).
به دلیل خطی بودن مسأله بهینهسازی سطح پایین، می‌توان از هر دو روش تبدیل مسائل بهینهسازی مقید به مسائل بهینهسازی دیگر (OPcOP)[38] به مسأله بهینهسازی با قیود مکمل (MPCC)[39] و مسائل بهینهسازی مقید به مسائل بهینهسازی خطی (OPcLP)[40] به مسأله بهینهسازی با قیود اصلی و دوگان (MPPDC)[41] به‌منظور حل این مسأله استفاده کرد (اطلاعات تکمیلی در پیوست ب). در ادامه، در ابتدا، هر دو روش مورد استفاده قرار گرفته و روابط حاصل‌شده را ارائه میدهیم.
تبدیل مسأله انتخاب نقطه تعادل به MPCC
با مشخص بودن ضابطه تابع هدف، قیود تساوی و نامساوی و پیوسته مشتق‌پذیر بودن این توابع در ناحیه ممکن، تابع لاگرانژ به‌صورت زیر تعریف می‌شود (نحوه استخراج شرایط KKT در پیوست ج آمده است).
۳–۱۹
عناصر بردار متغیر بهینهسازی در رابطه ۳–۲۰ نشان داده شده است.
۳–۲۰
برای برقراری اولین شرط KKT، لازم است که مشتق تابع لاگرانژ نسبت به عناصر بردار برابر با صفر باشد. شرایط حاصله در روابط ۳–۲۱ تا ۳–۲۷ نشان داده شده است.
شرایط حاکم بر مشتق تابع لاگرانژ نسبت به متغیر :
۳–۲۱
شرایط حاکم بر مشتق تابع لاگرانژ نسبت به متغیر :
۳–۲۲
شرایط حاکم بر مشتق تابع لاگرانژ نسبت به متغیر :
فرم در حال بارگذاری ...
