وبلاگ

با این معادلات، اکنون در وضعیتی برای شروع توصیف پلاریتون‌های پلاسمون سطحی هستیم.

۲-۱۱- پلاریتون‌های پلاسمون سطحی در یک سطح مشترک منفرد
شکل ۵-۲ هندسه انتشار SPP در سطح مشترک واحد بین فلز و دی الکتریک
ساده‌ترین هندسه‌ای که SPPs ها متحمل می‌شوند، یک سطح مشترک تخت منفرد (شکل ۵-۲) بین یک دی‌الکتریک، نیم فضای غیر جاذب (z>0) با ثابت دی الکتریک حقیقی مثبت ε_۲ و یک نیم فضای رسانای مجاور (z<0) که از طریق تابع دی الکتریک ε_۱(ω) تشریح می‌گردد. الزام ویژگی فلزی اشاره دارد که R_e[ε_۱]<0 که برای فلزات این شرط، در فرکانس‌های پایین‌تر از فرکانس پلاسمون توده ω_p تأمین می‌شود. حال می‌خواهیم راه‌ حل ‌های امواج انتشاری محدود به سطح را جستجو کنیم. در ابتدا به راه‌ حل ‌های TM نظری می‌افکنیم. با بهره گرفتن از مجموعه معادلات (۴۲-۲) در هر دو نیم فضا داریم:
(۴۴-۲a)
(۴۴-۲b)
(۴۴-۲c)
برای z>0 و
(۴۵-۲a)

(۴۵-۲b)
(۴۵-۲c)
مؤلفه‌ی بردار موج عمود بر سطح مشترک دو محیط است. مقدار متقابل آن  طول واپاشی محوشونده‌ی میدان‌های عمود بر سطح مشترک را مشخص می‌کند که حدود موج را کمی‌سازی می‌کند. پیوستگی H_y و ε_iE_z در این سطح مشترک نیازمند آن است A₁=A₂ و
(۴۶-۲)
توجه شود که امواج سطحی فقط در سطح مشترک بین مواد با علایم متضاد با بخش حقیقی ثوابت دی‌الکتریک آن‌ها، یعنی بین یک رسانا و یک عایق وجود دارند.
عبارت H_y معادله‌ی موج (۴۲-۲c) را به صورت زیر به دست می‌دهد:
(۴۷-۲a)
(۴۷-۲b)
با ترکیب این معادلات و معادله‌ی (۴۶-۲)، در نتیجه‌ی اصلی این بخش به رابطه‌ی انتشار SPPsهای منتشر شده در سطح مشترک بین دو نیم فضا به صورت زیر خواهیم رسید:
(۴۸-۲)
این عبارت برای ε_۱ مختلط و حقیقی، یعنی برای رساناهایی بدون میرایی و با میرایی معتبر می‌باشد.
حال به طور مختصر حالت‌های TE را تجزیه و تحلیل می‌کنیم. با بهره گرفتن از معادلات (۴۳-۲)، عبارات مربوطه برای مؤلفه‌های میدان، به صورت زیر هستند:
(۴۹-۲a)
(۴۹-۲b)
(۴۹-۲c)
برای z>0 و
(۵۰-۲a)
(۵۰-۲b)
(۵۰-۲c)  پیوستگی E_y و H_x در این سطح مشترک منجر به شرط زیر می‌گردد:
(۵۱-۲)
به دلیل آن که محدودیت این سطح نیازمند R_e[k₁]>0 و R_e[k₂]>0 می‌باشد، این شرط فقط در صورتی که A₁=0 و بنابراین A₁=A₂=0 باشد، تأمین می‌گردد. بنابراین هیچ حالت سطحی برای قطبش TE وجود ندارد. پلاریتون‌های پلاسمون سطحی فقط برای قطبش‌های TM وجود دارند.
اکنون ویژگی‌های SPPsها را با دقت بیش‌تری بررسی می‌کنیم. در شرایط حدی استهلاک ناچیز نوسان الکترون رسانا (به مفهوم I_m[ε_۱(ω)]=۰) بردار موج β با نزدیک شدن فرکانس به ω_sp (فرکانس پلاسمون خطی  )، و سرعت گروه (v_g→۰)، به سمت بی‌نهایت میل می‌کند. بنابراین، این حالت ویژگی الکتروستاتیک را حاصل کرده و به عنوان پلاسمون سطحی شناخته می‌شود. این می‌تواند در واقع از طریق یک راه‌حل سرراست معادله‌ی لاپلاس  برای هندسه‌ی سطح مشترک منفرد شکل ۵-۲ که در آن  پتانسیل الکتریکی است، به دست آورده شود. راه‌حلی که در راستای x شبه موج بوده و در راستای z به صورت نمایی میرا می‌شود به صورت زیر ارائه می‌گردد:
(۵۲-۲)
(۵۳-۲)
نیازمند آن است که k₁=k₂=β: طول‌های واپاشی نمایی  در دی‌الکتریک و فلز برابر هستند. پیوستگی  و  ، پیوستگی مؤلفه‌های میدان مماسی و مؤلفه‌های نرمال جابجایی دی‌الکتریک را توجیه کرده و نیازمند آن است که A₁=A₂ و به علاوه:
(۵۴-۲)
برای یک فلز، که به وسیله‌ی یک تابع دی‌الکتریک به شکل معادله‌ی (۲۲-۲) توصیف شده این شرایط در ω_sp حاصل می‌گردد. مقایسه‌ی معادله‌های (۵۴-۲) و (۴۸-۲) نشان می‌دهد که پلاسمون سطحی در واقع شکل حدی یک SPP است هنگامی که β→∞.]۲۸[.
۲-۱۲- پراکندگی به وسیله دوقطبی‌های القا شده‌ی پراکنده‌گرهای کوچک
پراکندگی‌های امواج الکترومغناطیسی از طریق سیستم‌هایی که ابعاد آن‌ها، در مقایسه با طول موج،کوچک می‌باشد، یک پدیده مهم و معمول است. در چنین اندرکنش‌هایی، تصور میدان‌های تابشی، به عنوان چند قطبی‌های مغناطیسی و الکتریکی القایی که در فاز معین نوسان می‌کنند و مرتبط با موج تابشی و انرژی تشعشعی که در راستاهایی غیر از امتداد تابش هستند، مناسب خواهد بود. اگر طول موج تابشی در قیاس با اندازه‌ی پراکنده‌گر، بلند باشد، فقط چند قطبی‌های مرتبه‌ی پایین‌تر که معمولاً دوقطبی‌های مغناطیسی و الکتریکی هستند، حائز اهمیت خواهند بود. حالت مرسوم، برای تابش یک موج تک رنگ تخت، به یک پراکنده‌گر می‌باشد. برای ساده‌سازی، محیط پیرامون به گونه‌ای انتخاب می‌شود که  اگر امتداد تابش با بردار واحد n₀ تعریف شود و بردار قطبشی تابش ε_۰ باشد، میدان‌های تابشی به صورت زیر محاسبه می‌گردند:
(۵۵-۲)
که در آن  و یک  وابسته به زمان، درک می‌شود.
این میدان‌ها، گشتاورهای دوقطبی p و m را در پراکنده‌گر کوچک، القا کرده و این دوقطبی‌ها، انرژی را در تمام جهات تابش می‌کنند. خیلی دورتر از پراکنده‌گر، میدان‌های پراکنده شده، به صورت زیر به دست آورده می‌شوند:
(۵۶-۲)
که در آن n، یک بردار واحد در راستای دید، و r، فاصله از پراکنده‌گر است. نیروی تابش شده در راستای n با قطبش ε بر واحد زاویه فضایی، در واحد شار تابش (توان در واحد سطح)، در راستای n₀ با قطبش ε_۰ کمیتی با ابعاد سطح در واحد زاویه فضایی است، که سطح مقطع پراکندگی دیفرانسیلی نامیده می‌شود:
(۵۷-۲)
با بهره گرفتن از معادلات بالا، سطح مقطع دیفرانسیلی می‌تواند به صورت زیر نوشته شود:
(۵۸-۲)