وبلاگ

(۳-۱۵)

ماتریس سختی متقارن بوده پس برای بقیه­ی جمله­ها داریم:

۳-۳- اثر پیش بار
معمولاً المانهای چرخشی بلبرینگ به منظور از بین بردن خیزهای بزرگ ناشی از بارهای خارجی را تحت پیش بار قرار می­ دهند تا منجر به افزایش عمر خستگی، کاهش نویز، جلوگیری از سر خوردن و کاهش لرزش ناشی از لقی شود]۱۰,۱۴[.
۳-۳-۱- فرضیات و معادلات حاکم
ارتعاش سیستم شفت-بلبرینگ دو ردیفه در شکل زیر نشان داده شده است که شفت تحت بردار بار  می­باشد.
حرکت ارتعاشی شفت با بردار جا­به­جایی  نشان داده می­ شود که دو جمله آخر در بردارهای نیرو و جابجایی به ممان زاویه­ای و حرکت زاویه­ای حول محورهای x و y مربوط می­باشند. المان مربوط به چرخش همانطور که در بخش قبلی هم ذکر شده بود، حول محور z صفر در نظر گرفته شده است زیرا شفت آزادانه می ­تواند حول آن بچرخد. برای آنالیز ارتعاشی مسئله فرض می­کنیم که ارتعاشات منتقل شده از بلبرینگها بسیار کوچکتر از جا به ­جایی بلبرینگها می­باشد لذا از اثر آن صرف نظر می­کنیم که در نهایت معادله­ مسئله تبدیل به معادله­ زیر می­ شود.
(۳-۱۶)
که  ،  و  به ترتیب جرم، میرایی و ماتریس سختی می­باشند. لازم به ذکر است که پیشبار بلبرینگ و بارهای میانگین شفت در معادله­ حاکم ظاهر نمی­شوند لیکن مشخصه­های ارتعاشی سیستم بلبرینگ توسط جمله­های قطری و غیر قطری ماتریس سختی مشخص می­ شود[۱۲].
شکل ۳-۵ شمایی از مسئله­ ارتعاشی[۱۲]
ماتریس سختی همانطور که ذکر شده است شامل سینماتیک بلبرینگ و مشخصه­های الاستیک است و تغییر شکل الاستیک کل هر المان چرخشی  با محاسباتی همراه است که در بخش قبل توضیح داده شده و از معادلات ۳-۳ تا ۳-۹ استفاده می­ شود. سپس با بهره گرفتن از تغییر شکل الاستیک در تئوری تنش تماس هرتز، بار نرمال برآیند  از معادله­ ۳-۱۰ بدست می ­آید.
سپس بردار نیرو توسط بردار جا به ­جایی به وسیله­ معادله­ ۳-۱۲ مشخص می­ شود.
۳-۳-۲- تحلیل مدل
لازم به ذکر است که در این پژوهش جداره­ی هر دوی شفت و بلبرینگ صلب در نظر گرفته می­شوند و این فرض منجر به ساده سازی بیشتر تحلیل می­ شود که در زیر هم شمایی از آن آورده شده است.
شکل ۳-۶ مدل تحلیلی شفت صلب که با بلبرینگ دو ردیفه
که در این مسئله، ماتریس  ماتریس جرم شفت صلب که تکیه­گاه آن بلبرینگ تماس زاویه­ای دو ردیفه است می­باشد. لذا داریم:
(۳-۱۷)
المانهای ماتریس سختی نیز از مجموع روابط معادله­ ۳-۱۵ بدست می ­آید. اطلاعات بلبرینگ دو ردیفه­ای که در این پژوهش از آن استفاده شده است در جدول زیر آورده شده است. این اطلاعات به جز ضریب سختی هرتز که به صورت تجربی بدست می ­آید، از طریق سازندگان بلبرینگ و یا سینماتیک بلبرینگ بدست می ­آید]۱۰[.
برای این مسئله جرم شفت صلب را  در نظر می­گیریم و ممان اینرسی مرکز بلبرینگ حول محورهای x و y از هندسه محاسبه شده و مقادیر  را دارند همچنین به دلیل تقارن مسئله  می­باشند.
ماتریس میرایی  را نمی­ توان به دلیل پراکندگی المانهای چرخشی به سادگی پیشبینی کرد و لذا لازم است که از تست تجربی بدست آید. برای راحتی میرایی نامتناسب سیستم چند درجه­ آزادی را فرض می­کنیم و معادله­ ۳-۱۶ را با در نظر گرفتن بردار حالت  دوباره بازنویسی می­کنیم[۱۴].
(۳-۱۸)
که معادله­ فوق به فرم  می­باشد و ضرایب آن به فرم زیر در می ­آید:
(۳-۱۹)
برای مسئله مقدار ویژه­ی عمومی فرض می­کنیم حل به شکل  می­باشد.
(۳-۲۰)
حل معادله منجر به مقدار ویژه­ی  و بردار ویژه­ی  می­ شود که r امین مقدار ویژه به شکل زیر است:
(۳-۲۱)
و فرکانس طبیعی غیر میرای  و نسبت میرای ویسکوز  به صورت زیر هستند:
(۳-۲۲)
(۳-۲۳)
در این پژوهش مکانیزم میرایی به گونه ­ای در نظر گرفته شده است که میرایی ویسکوز مستقل از پیشبار می­باشد که با ماتریس قطری زیر مشخص می­ شود: