(۳-۱۴)
بطوریکه ε۰، εr، A و d به ترتیب ثابت دی الکتریک خلاء، ثابت دی الکتریک ماده بین الکترودها، سطح موثر الکترودها و شکاف هوایی بین الکترودهاست. مطابق با این فرمول، افزایش یا کاهش فضای بین صفحات باعث تغییر در ظرفیت خازنی می‌گردد.
در صورتیکه الکترود چهارطرف ثابت باشد و در اثر نیروی خارجی جابجا شود، ظرفیت خازنی تغییر کرده و از رابطه زیر بدست می‌آید[۳۶].
(۳-۱۵)
بطوریکه d ضخامت شکاف هوایی و w(x,y) جابجایی دیافراگم را نشان می‌دهد. در صورتیکه جابجایی موثر الکترود بصورت زیر تعریف گردد:
(۳-۱۶)
بطوریکه A مشخص کننده سطح دیافراگم است، آنگاه تغییر در ظرفیت خازنی در اثر اعمال فشار بصورت زیر بدست می‌آید:
(۳-۱۷)
C0 ظرفیت خازنی اولیه (فشار خارجی صفر است) می‌باشد. برای جابجایی هایی که در مقایسه با ضخامت دیافراگم، h ، کوچک باشد، جابجایی موثر، s، تقریبا یک چهارم جابجایی مرکزی می‌باشد[۳۲]. لذا حساسیت سنسور بصورت زیر قابل محاسبه است.
(۳-۱۸)
ΔC تغییرات ظرفیت خازنی و P فشار مربوط به معادله (۳-۱۱) می‌باشد. با این تعریف حساسیت می‌تواند مقادیر مختلفی بسته به شیب نمودار C-P به ازای نقطه کاری مشخص داشته باشد. لذا حساسیت متوسط تعریف می‌شود. حساسیت متوسط Save برای سنسور فشار خازنی در رنج فشار کاری سنسور، شیب خط راستی است که ظرفیت خازنی مینیمم و ماکزیمم را به یکدیگر متصل می‌کند. (شکل ۳-۶ )
شکل ۳-۶ حساسیت در نقطه کار ، Sw ، و حساسیت متوسط سنسور، Save
۳-۳-۳ انتخاب ناحیه کاری برای سنسور فشار چشم
مشخصه C-P برای یک سنسور فشار خازنی در شکل ۳-۷ نشان داده شده است. در این شکل چهار ناحیه کاری وجود دارد. ناحیه نرمال، گذرا، لمسی و ناحیه اشباع. از این شکل می‌توان دریافت که رفتار قطعه در هر یک از چهار ناحیه متفاوت است. معمولا مشخصه سنسور فشار خازنی لمسی هر چهار ناحیه را در بر می‌گیرد. سنسور فشار خازنی چشم در ناحیه نرمال کار می‌کند. انتخاب این ناحیه به اندازه و میزان جابجایی المان مربوط می‌شود.
شکل ۳-۷ ویژگی های یک سنسور فشار خازنی لمسی a ) ناحیه نرمال b )ناحیه گذرا c )ناحیه لمسی d )ناحیه اشباع
۳-۴ بررسی ظرفیت خازنی
یک خازن با صفحات موازی که در آن از اثر خازن های پارازیتی صرفنظر شده است، یک المان ایده‌آل برای تجزیه و تحلیل ظرفیت خازنی می‌باشد. ظرفیت خازنی یک خازن با صفحات موازی بصورت زیر تعریف می‌شود:
(۳-۱۹)
ε ثابت دی الکتریک ماده بین دیافراگم و صفحه پایین، A مساحت موثر الکترود های خازن و d فاصله بین آن دو می‌باشد. خازن با صفحات موازی ساده ترین نوع خازن است و یک مدل پایه ای برای محاسبه خازن با اشکال مختلف می‌باشد. در صورتیکه یکی از الکترودها چهارطرف ثابت باشد و در اثر نیروی خارجی جابجا شود، رابطه تغییر ظرفیت خازنی بصورت زیر می باشد:
(۳-۲۰)
ε ثابت دی الکتریک ماده بین الکترودها، d شکاف اولیه بین الکترودها، a و b به ترتیب طول و عرض الکترودها و w(x,y) تابع جابجایی الکترود بالایی می‌باشد. فرض بر این است که مبدا مختصات در گوشه مختصات قرار دارد (شکل ۳-۸ ).
شکل ۳-۸ نمایش صفحه در مختصات کارتزین
در معادله بالا Ci ظرفیت خازنی اولیه (قبل از جابجایی) و Cf ظرفیت خازنی نهایی (بعد از جابجایی) را نشان می‌دهد. از این معادله می‌توان دریافت که وضعیت فیزیکی تمام گره های الکترود بالایی،
d-w(x,y) ، باید مشخص شود تا مقدار دقیق ظرفیت خازنی و تغییرات آن در حین اعمال فشار خارجی تعیین گردد. برای اینکه جزئیات بیشتری در رابطه با تغییرات ظرفیت خازنی بدانیم، ضروری است در مورد جابجایی مکانیکی الکترود بالایی به عنوان یک صفحه نازک بیشتر بدانیم. در بخش بعد جابجایی یک صفحه نازک بر اساس شکل هندسی آن، فشار خارجی اعمال شده به آن و شرایط مختلف مرزی بحث خواهد شد.
۳-۵ آنالیز خمش یک صفحه نازک
از آنجا که ویژگی های الکترود متحرک (دیافراگم) بیشترین تاثیر را بر روی رفتار خازنی سنسور دارد، لذا ضروریست درک درستی از جابجایی دیافراگم جهت طراحی دقیق سنسورهای فشار خازنی داشته باشیم. آنالیز جابجایی استاتیک صفحات در مرجع [۳۷] آمده است. در زیر سه نوع صفحه معرفی می‌گردد که هر یک تئوری خمش مخصوص به خود را دارد.
اولین دسته صفحات نازک با جابجایی کوچک می‌باشد. بطوریکه جابجایی صفحه در مقایسه با ضخامت آن کوچک است.
دسته دوم صفحات نازک با جابجایی بزرگ می‌باشد. در این مورد خمش صفحه با کشش زیادی در مرکز صفحه همراه است که این خمش در استخراج معادلات دیفرانسیلی صفحات باید مد نظر قرار گیرد. آنالیز این دسته اصولا با پیچیدگی های بیشتری نسبت به دسته اول همراه است.
دسته سوم صفحات ضخیم است. تئوری تقریبی صفحات نازک برای این دسته از صفحات قابل استفاده نمی‌باشد. در اینجا از تئوری صفحه ضخیم استفاده می‌شود.
از میان این سه دسته، تئوری صفحه نازک با جابجایی کوچک را مد نظر قرار می دهیم. انتخاب مناسب تئوری طراحی، ما را به طراحی ساختار دقیق تر و محاسبات معقول تری سوق می‌دهد. آنچه در اینجا مورد بررسی قرار می‌گیرد، یک صفحه با ضخامت کم در مقایسه با ابعاد دیگر آن می‌باشد و همواره جابجایی آن در مقایسه با ضخامت صفحه کوچکتر می‌باشد. در بخش بعد صفحه مستطیلی نازک با جابجایی کوچک و با شرایط مرزی مناسب مختصرا مورد تحلیل قرار می‌گیرد.
۳-۵-۱ بررسی معادلات پایه ای صفحات نازک با جابجایی کوچک
جابجایی w(x,y) که در اثر اعمال فشار بر روی صفحه ایجاد می‌گردد، از حل معادله زیر بدست می‌آید[۳۷].
(۳-۲۱)
که در آن P(x,y) فشار اعمال شده بر صفحه و D ، استحکام موجی[۲۹] صفحه می‌باشد که بصورت زیر تعریف می‌شود.
(۳-۲۲)
E مدول یانگ (ضریب کشسانی) و ν ضریب پواسن می‌باشد. در صورتیکه در یک شرایط خاص، حل این معادله با در نظر گرفتن شرایط مرزی صفحه انجام گیرد، گشتاور خمشی، Mx و My ، و گشتاور چرخشی،Mxy و Myx، از معادلات زیر بدست می‌آید:
(۳-۲۳)
و
(۳-۲۴)
و
(۳-۲۵)
تنش نرمال و تنش برشی با بهره گرفتن از معادلات فوق بدست می‌آید:
(۳-۲۶)
و
(۳-۲۷)
و استرس برشی (shearing stress) بصورت زیر تعریف می‌شود:
(۳-۲۸)
و
(۳-۲۹)
فرم در حال بارگذاری ...
