۲-۳-۱-۱- روش شناسی سطح پاسخ
این روش با آثار Wilson و Box در سال ۱۹۵۱ میلادی شروع شده و مجموعه ای از تکنیک های آماری و ریاضی است. از این روشها برای فرایند بهینه یابی استفاده می گردد و با بهره گرفتن از کمترین داده های کمی چندین متغیر را به طور همزمان بهینه می گردند. در عمل باید مجموعه ای از ورودی های قابل کنترل (Xi) انتخاب شوند که توسط آنها متغیر های پاسخ (Yi) در شرایط مناسبی قرار گیرند. هر متغیر پاسخ به مجموعه ای از متغیر های قابل کنترل بستگی دارد که باید به طور همزمان بهینه گردند. ارتباط بین متغیرهای قابل کنترل و مشخصه های کیفی مورد نظر، و همچنین انتخاب سطوح Xi ها به طوریکه مجموعه Yi ها بهینه گردند از روش سطح پاسخ بدست می آید. RSM روشی است که در آن از طرح های آزمایشی مناسب بهره گیری شده و اطلاعات ساختمندی بدست می آورد که مدلی مناسب بر این داده ها برازش نموده و منحنی های سطح پاسخی رسم می شوند که در جهت بهبود فرایند تولید (پاسخ بهینه) از آنها استفاده می شود.
هنگامی که عوامل و روابط زیادی روی متغیر پاسخ تاثیر داشته باشند، تحلیل سطحی پاسخ یکی از ابزارهای موثری است که با کمترین منابع و داده های کمی و با طرح آزمایشی مناسب همزمان چندین متغیر را تعیین می کند. به عنوان مثال اگر در یک فرایند شیمیایی، ماکزیمم کردن محصول یک واکنش شیمیایی با تغییر دادن زمان واکنش (X1)، دما (X2) و فشار (X3) مد نظر باشد و محصول واکنش به عنوان پاسخ در نظر گرفته شود. پاسخ مشاهده شده (Y) می تواند به عنوان تابعی از متغیر های مختلف فرایند (X1……Xk) به صورت زیر نوشته شود:
Y = f (X1,…..,Xk) + ε (۱-۲)
که در آن ε منابع متغیر دیگری را که در f محاسبه نمی شوند، نشان می دهد. بنابراین ε نشان دهنده اثر هایی مثل خطای اندازه گیری پاسخ، دیگر منابع تغییر که ذاتا روی فرایند اثر می گذارند، اثر دیگر متغیر ها و غیره می باشد. ε را خطای آماری می نامیم که فرض می شود دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس ۲σ است.
با رسم امید ریاضی پاسخ Y یک سطح به نام سطح پاسخ به دست می آید که در آن شکل f نا معلوم است و می تواند بسیار پیچیده باشد. بنابراین هدف اولیه برآورد، تعیین شکل تابعی f از طریق یک چند جمله ای مناسب با درجه پایین در نواحی دلخواه از فضای متغیرهای مستقل است. معمولا چند جمله ای های درجه پایین در جاهایی که فضای متغیر های مستقل نسبتا کوچک است، مناسب هستند. در بسیاری از حالتها هر دو مدل درجه اول و درجه دوم مفید می باشند. اگر پاسخ به خوبی با بهره گرفتن از تابعی خطی از متغیر های مستقل مدلسازی شود، تابع تقریب مربوط به آن مدلی مرتبه اول خواهد بود.
Y= β۰ + β۱X1 + ….+ βkXk + ε (۲-۲)
اگر انحنایی در سیستم وجود داشته باشد، یک چند جمله ای از مرتبه بالاتر را باید به کار برد که همانند مدل مرتبه دوم زیر می باشد:
(۲-۳)
β ها مجموعه پارامترهای ناشناخته هستند که برای تخمین مقادیر آنها لازم است از سیستم مورد مطالعه اطلاعاتی جمع آوری گردد. تحلیل رگرسیون مدلی است که از این اطلاعات برای تخمین β استفاده می کند. هدف در این روش بهینه کردن Yاست به گونه ای که رابطه درستی بین متغیر های مستقل و متغیر پاسخ برقرار شود. همچنین در این روابط، k تعداد متغیر ها، iβ اثرات خطی، βii اثرات مربعی، β۰ ضریب ثابت و Y پاسخ پیش بینی شده را نشان می دهد (امیری، ۱۳۸۸).
روش RSM دارای کاربرد هایی از جمله پیدا کردن متغیر های قابل کنترل که در بهینه سازی متغیر پاسخ نقش دارند، می باشد. این روش شامل مراحل زیر است:
طراحی و انجام آزمایشاتی جهت دستیابی به معیارهای کافی پاسخ مورد نظر
ایجاد مدل های ریاضی سطح پاسخ مرتبه اول و دوم با بهترین برازش
یافتن مجموعه بهینه ای از پارامترهایی که حداکثر یا حداقل مقدار پاسخ را تولید می کنند.
بررسی اثرات مستقیم و تعاملی پارامترها از طریق جدول تجزیه و تحلیل واریانس (ANOVA).
۲-۳-۱-۲- طرحهای آزمایشی برای برازانیدن سطح های پاسخ
یافتن نقاط بهینه سراسری به هنگامی که متغیر پاسخ پیچیده باشد (برای مثال وقتی تعداد متغیر های مستقل زیاد باشد)، کار دشواری است و در صورت استفاده از روش های رایج ریاضی می تواند منجر به یک نقطه موضعی گردد. در این حالت برازانیدن و تحلیل کردن سطح های پاسخ از طریق انتخاب طرح آزمایشی مناسب بسیار آسان می باشد. برخی ویژگی های طرح های مطلوب عبارتند از (کحالزاده، ۱۳۸۸):
توانایی برازش یک مدل مناسب و کارا بر روی داده های طرح آزمایش،
امکان انجام آزمایش های متوالی،
استوار (غیر حساس) بودن نسبت به نقاط پرت،
تهیه اطلاعات کافی برای آزمون نیکویی برازش،
مقرون به صرفه بودن و عدم احتیاج به آزمایش زیاد،
تهیه یک برآورد از خطای خالص آزمایش ،
تامین سادگی محاسبه پارامتر های مدل،
امکان انجام آزمون فرض همگن بودن واریانس ها، و
نیازمند نبودن به سطوح بسیار متعدد متغیر های مستقل.
در این مدل تجربی از متغیر های پیوسته و به صورت کد بندی شده استفاده می گردد. دلیل استفاده از مدل های کد بندی شده را می توان به صورت زیر بیان نمود:
مقایسه اندازه بزرگی ضرایب و جهت آنها بر متغیر پاسخ،
پیدا کردن مسیری سریع برای رسیدن به ناحیه بهینه و نقطه بهینه، و
استفاده از طرح آزمایش عاملی k2.
در این حالت متغیر های طرح به صورت زیر کد بندی می شوند:
(۲-۴)
که در این رابطه:
:α کد نقاط واقع بر روی محور هر پارامتر
:xα نقطه واقعی متناظر با کد α
می باشد. در این نوع کد بندی بالاترین سطح متغیر طرح ۱+ و پایین ترین سطح آن ۱- می باشد.
۲-۳-۱-۳- انواع طرح های سطح پاسخ
در حالت کلی طرح های سطح پاسخ به دو دسته طرح های استاندارد و غیر استاندارد تقسیم می شوند. طرح های استاندارد شرایط زیر را دارا می باشند:
عدم وجود محدودیت خطی بین متغیر های طرح،
عدم وجود متغیر گسسته، و
عدم محدودیت در انجام تعداد آزمون های مورد نیاز.
از معروف ترین طرح های استاندارد می توان به طرح مرکب مرکزی (CCD[4]) اشاره نمود. قابل ذکر است که در روش RSM برای طراحی آزمایشها علاوه بر شیوه CCD چند شیوه دیگر نیز وجود دارد که به اختصار بیان می شوند:
Full Factorial Design
برای ساختن یک مدل تخمینی که اثر متقابل بین N متغیر را نشان دهد، از این روش استفاده می شود. یک آزمایش فاکتوریال، یک استراتژی آزمایشگاهی است که در آن متغیر های طراحی، با هم تغییر می کنند و نه تک تک. حد پایین و بالای هرکدام از متغیر ها باید تعریف گردد. در صورتی که فقط حدود بالا و پایین مشخص باشند تعداد آزمایشها برابر ۲N است و در صورتی که نقاط مرکزی هم مهم باشند باید ۳N آزمایش داشته باشیم.
D-Optimal Design
معیار این روش یک ساختار با بازدهی بیشتر برای مدل درجه دوم ارائه می دهد. هدف در این روش، انتخاب p نقطه طراحی از یک سری نقطه های کاندیدا شده می باشد.
مدل مرتبه دوم به طور کلی به صورت رابطه ۲-۵ معرفی می شود. اگر این رابطه را به صورت ماتریسی بنویسیم، خواهیم داشت:
Y = X * B + e (2-5)
که در این رابطه:
Y: برداری از مشاهدات
:e برداری از خطاها
X: ماتریسی از مقادیر متغیر های طراحی در نقاط برنامه
B: برداری از پارامتر های میزان سازی که:
فرم در حال بارگذاری ...