علاوه براین،
(۲-۷۷)
که برای نقطه کوانتمی، چاهسیم کوانتمی و سیم ساده کوانتمی داریم:
(۲-۷۸)
توجه نمایید که در به‌دست آوردن معادلات (۲-۷۲) و (۲-۷۳)، از نتیجه زیر با فرض طول عمر محدود برای حالت جفت الکترون-حفره، استفاده نموده‌ایم:
(۲-۷۹)
چهار سهم در سطح مقطع پراکندگی وجود دارد که سه تا از آنها از هم مستقلاند اما سهم قطبش اگر با سهم و مقایسه شود نادیده گرفته می شود.
سطح مقطع دیفرانسیلی چاه سیم کوانتمی نیمرسانا برحسب فرکانس تابشی دارای تکینگی‌هایی است که با روابط زیر مشخص میشوند
(۲-۸۰)
(۲-۸۱)
(۲-۸۲)
همان‌طوری‌که از رابطه‌های (۲-۸۰) و (۲-۸۱) ملاحظه می‌شود، این فرکانس‌ها متناظر با گذارهای الکترونی بین زیر نوارهایی است که تنها در نوار رسانش و یا تنها در نوار ظرفیت قرار دارند (گذار بین زیر نوارها). مقادیر فرکانسهایی که در معادلات (۲-۸۰) و (۲-۸۱) ارائه شده‌اند به گسیل فوتون با الکترون یا حفره در گذار بین زیر نوارها وابسته است. در این حالت قواعد گزینش برای گذارهای الکترونی و برای گذارهای حفره میباشد، این قاعده‌های گزینش متناظر با قطبش و قاعده گزینش متناظر با قطبش است. تکینگی‌های موجود در معادله (۲-۸۲) متناظر با گذارهای بین نواری بوده و وابسته به است.
حال برای محاسبه بازده پراکندگی، می‌بایست را برحسب رسم نماییم.
شکل ۲-۳: طیف گسیلی پراکندگی الکترونی رامان در چاهسیمهای کوانتمی و نقاط کوانتمی برای قطبش .
در شکل (۲-۳) طیف گسیلی برای نقطه کوانتمی و چاه سیم کوانتمی با قطبش نشان داده شده است. به علت محدود بودن ارتفاع پتانسیل دیواره حالت‌ها به شعاع وابسته بوده و بنابراین، اگر طیف بدست آمده برای چاهسیم کوانتمی با را با طیف مربوط به مقایسه کنیم یک جابه‌جایی به سمت راست قلههای و مشاهده می‌شود. همچنین قلههای مربوط به الکترون‌ها دارای مقادیر بزرگتری می‌باشند. این ناشی از این واقعیت است که با افزایش شعاع، تفاوت انرژی بین زیر نوارها نیز افزایش می‌یابد.
علاوه براین، با توجه به شکل کاهش شدت در قلهها را میتوان مشاهده کرد که قلههای مربوط به گذارهای الکترونی بزرگتر از قلههای مربوط به گذارهای حفره است، این ناشی از این حقیقت است که حفره دارای جرم مؤثر بزرگتر از الکترون و همچنین دارای جابجایی نوار کمتری است[۲۶].
۲-۴ سطح مقطع دیفرانسیلی برای نقطه کوانتمی
یک نقطه کوانتمی کروی با شعاع را در تقریب سهموی تک نواری در نظر بگیرید. به علت محدودیت کوانتمی موجود در تمام راستاها، این نوار به مجموعه‌ای از زیر نوارها تقسیم می شود.
جواب‌های معادله شرودینگر در تقریب تابع پوشا و در مختصات کروی به‌صورت زیر است:
(۲-۸۳)
که در آن
(۲-۸۴)
(۲-۸۵)
در معادله (۲-۸۳) هماهنگ کروی است.
با اعمال شرایط مرزی مناسب، به رابطه غیر جبری زیر برای محاسبه ویژه مقدارهای انرژی می‌رسیم
(۲-۸۶)
که ویژه مقدارهای انرژی به صورت زیر نتیجه میشوند
(۲-۸۷)
در رابطه بالا ، صفرهای معادله (۲-۸۶) را مشخص می کند. در اینجا نوارها کاملاٌ گسسته هستند ولی به علت تقارن کروی هرکدام از حالت‌ها تعداد بار تبهگنی دارند.
۲-۴-۱ شدت پراکندگی رامان
با توجه به معادلات (۲-۸۳) و (۲-۴) و (۲-۵) میتوان رابطه زیر را بدست آورد
(۲-۸۸)
این رابطه مشابه رابطه مربوط به چاهسیم کوانتمی میباشد. این رابطه گذار بین نواری، ناشی از گسیل یک فوتون و ایجاد جفت الکترون-حفره را نمایش میدهد. علاوه بر این، گذار بین زیر نوارها با اعدد کوانتمی و یکسان نیز رخ می‌دهند.
برای محاسبه دومین عنصر ماتریسی، معرفی پایه‌های زیر مفید است
(۲-۸۹)
(۲-۹۰)
بنابراین، عملگر تکانه در پایه‌های فوق را می‌نوان به‌صورت زیر نوشت:
(۲-۹۱)
با بهره گرفتن از پایه‌های داده شده در معادله (۲-۸۹) و معرفی عملگر
(۲-۹۲)
(۲-۹۳)
عنصر ماتریسی مربوط به تابش ثانویه به صورت زیر نتیجه می‌شود
(۲-۹۴)
که
(۲-۹۵)
(۲-۹۶)
(۲-۹۷)
این رابطه نشان میدهد که در گسیل یک فوتون با انرژی سه قطبش مستقل ظاهر میشوند که در آن گذار بین حالتهایی با و رخ میدهد.
بعد از جایگذاری رابطه‌های (۲-۹۴) و (۲-۹۷) در رابطه (۲-۳) خواهیم داشت:
(۲-۹۸)
(۲-۹۹)
با جایگذاری رابطه‌های (۲-۹۸) و (۲-۹۹) در روابط (۲-۱) و (۲-۲) سطح مقطع دیفرانسیلی زیر نتیجه می‌شود:
(۲-۱۰۰)
(۲-۱۰۱)
فرم در حال بارگذاری ...