وبلاگ

نوع پنجم: توزیع چبشف-گوس-لوباتو^[۲۸] :

در شکل ۲.۲ توزیع چبشف-گوس-لوباتو بر فواصل بین گرهها با توزیع یکنواخت در فضای دوبعدی نشان داده شده است. شو ]۱۱۹[ اثبات میکند که با اعمال توزیع چبشف-گوس-لوباتو بر مساله، به حلی بیقید و شرط پایدار در مساله خواهیم رسید.
جدا از پنج توزیع نقاط گفته شده در بالا، میتوان کشیدگی^[۲۹] نقاط گرهای به سمت مرزها را در هر یک از معادله های(۴۲.۲) تا (۴۶.۲) با بهره گرفتن از رابطه زیر تغییر داد ]۱۱۹[

که  پارامتر کشیدگی تعریف میشود. به وضوح مشاهده میشود که هر چه  کوچکتر باشد, نقاط گرهای به صورت بیشتری به سمت مرزها کشیده میشوند. شایان ذکر است که معادلهی (۴۷.۲) فقط در بازهی  اعمال میگردد. بعد از کشش گرهها به کمک معادلهی (۴۷.۲),  همچنان در بازهی  قرار دارد. یادآوری میشود که اگر  مقادیر منفی به خود بگیرد,  بدست آمده از معادلهی (۴۷.۲), ممکن است که یک مقدار کوچک منفی شود که خارج از بازهی]۱ ۰[ میباشد. در این حالت، مقادیر  و  از روابط زیر به دست میآیند

جاییکه  یک مقدار کوچک مثبت ثابت میباشد. در حالت کلی، انتخاب  از شرایط  پیروی میکند. اگر مقدار  در نظر گرفته شود, توزیع چبشف-گوس-لوباتو که توسط معادله (۴۶.۲) نشان داده شده است، توزیعی است که به شدت به سمت مرزها کشیده میشود.
۸.۲- مربعات دیفرانسیل تکهای
همانطور که اشاره شد در اکثر مسایل گذرا که روش مربعات دیفرانسیل بر روی آنها اعمال شده است از روش های مربعات دیفرانسیل هیبریدی استفاده میشود. با توجه به مسالهی ناپایداری روش های مربعات دیفرانسیل هیبریدی محققان بفکر استفاده از روش های مربعات دیفرانسیل غیرهیبریدی افتادند. درپی این مساله در سال ۲۰۰۶ ایده استفاده از روش مربعات دیفرانسیل تکهای مطرح شد.
کارایی این روش خودش را بوضوح در مسایلی که گرادیان متغیرهای مطلوب مساله در یک مقطع از دامنه شدید باشد، نشان میدهد. یکی از کاربردهای این روش جریانهای گذرا است که در لحظات آغازین گرادیان مولفه های سرعت جریان و دما بسیار شدید است. بنابراین استفاده از این روش بر روی دامنهی زمانی بسیار کارآمد خواهد بود. تابع  را در نظر بگیرید که  متغیر مکانی و  متغیر زمانی تابع مذکور میباشد. فرض کنید روند تغییرات تابع  بر حسب زمان بصورت شکل ۳.۲ باشد. در این روش بجای بررسی کل دامنهی زمانی(هر دامنهی محاسباتی که مربعات دیفرانسیل تکهای میخواهد بر آن اعمال شود) بصورت یکجا، دامنهی زمانی به زیر دامنههایی شکسته میشود. سپس، با اعمال روش مربعات دیفرانسیل بر هر یک از این زیر دامنهها، نتایج عددی دلخواه تعیین میشود. نتایج بدست آمده در آخرین گام زیر دامنه به عنوان شرایط اولیه برای مرحلهی بعد استفاده میشود. همانطور که گفته شد در راستایی که این روش اعمال میشود، دامنهی محاسباتی مرتبط با آن راستا به زیر بازههایی شکسته میشود و در آن زیر بازهها روش مربعات دیفرانسیل اعمال میشود این مساله در شکل ۴.۲ نشان داده شده است.

۹.۲- بررسی کارایی روش مربعات دیفرانسیل
به منظور بررسی کارایی روش مربعات دیفرانسیل بر مسایل لایهی مرزی و تاثیری که انتخاب روش مرتبهی بالا بر تعداد گرهها، دقت نتایج و هزینه های محاسباتی میگذارد، مسالهی جریان جابجایی آزاد دایم در اطراف کره مورد بررسی قرار گرفته است. برای حل مساله از دو روش تفاضل محدود مرکزی و مربعات دیفرانسیل استفاده شده است و نتایج آنها با یکدیگر مقایسه شده است.
۱.۹.۲- جریان جابجایی آزاد دایم بر روی کره دما ثابت
مسالهی دو بعدی جریان جابجایی آزاد و انتقال حرارت سیال لزج غیرقابل تراکم در اطراف کرهی دما ثابت به عنوان مسالهی نمونه مورد مطالعه قرار گرفته شده است.
۱.۱.۹.۲- مدلسازی ریاضی جریان
نمایی از مسالهی مورد مطالعه را در شکل ۵.۲ دیده میشود. فرضیات زیر برای جریان بر روی کره میشود :

• • جریان لایهای در نظرگرفته شده است.

• • سیال لزج، غیرقابل تراکم است.

• • دمای سیال محیط  است.

• • دمای سطح کره  است.

• • از ترم اتلافات ویسکوز صرفنظر شده است.

• • ضخامت لایهی مرزی در مقابل با شعاع انحنای کره ناچیز در نظر گرفته شده است.

با توجه به فرضیات فوق و با بهره گرفتن از تقریب بوزینسک معادلات لایهی مرزی به قرار زیر است:
معادلهی پیوستگی: