وبلاگ

تعريف3-3-1: تصوير  در جبر فون نويمان  را نسبت به  تجزيه‌پذير شما‌را گوييم هرگاه هر خانواده متعامد از زير تصويرهاي غيرصفر  در  ، شمارش‌پذير باشد. هرگاه  نسبت به  تجزيه‌پذير شما را باشد گوييم  نيز تجزيه‌پذير شما را است.
یاد اوری می کنیم که طبق ] 9 [ صفحه ی 338 چون یک فضای هیلبرت تفکیک پذیر است لذا هر خانواده ی متعامد از تصویر ها شمارش پذیر است. بنابر این و هر جبر فون نویمان روی تجزیه پذیر شمارا می باشند.
قضيه 3-2-2: هر مجموعه ی  محدب فشرده ی ضعيف ستاره ی  در عامل ابر متناهي  ، بستارضعيف ستاره ی غلاف  -محدب  ، (همه نقاط  -فرين  ) است.
اثبات:
از آن جايي كه  يك عامل ابرمتناهي است بنابراين طبق تعريف 1-3-7،  داراي يك  -زير جبر ضيعفاً چگال مثل  است كه  يك جبر ابر متناهي يكنواخت است. يعني طبق تعريف 1-3-6 داراي يك زير دنباله صعودي  از  -زير جبرهاي ساده متناهي البعد است كه هر كدام از ها داراي يكه  بوده و  در چگال است. حال چون  يك  -زير جبر ضيعفاً چگال در  است از همان اول مي‌توان گفت به دليل ابرمتناهي بودن  ،  دارايزيردنباله صعودي از  -زير جبرهاي متناهي البعد چون از  است. همچنين اميدهاي شرطي  موجودند به طوري که براي هر  دنباله  در توپولوژي عملگر قوي همگرا به  است. چرا كه اولاً طبق لم 2 از [2]،  يك جبر فون نويمان است و  ها اميد شرطي هستند لذا چون  دنباله افزايشي از اميدهاي شرطي روي  (زير جبرهاي  ) است و  ، نتيجه مي‌شود كه :
ثانياً براي نشان دادن اينكه  ها اميدهاي شرطي هستند بايد ثابت كنيم  توابع خطي مثبت هستند كه داراي ويژگي‌هاي زير مي‌باشند :

فرص كنيم  چون  بنابراين  . اکنون فرض کنیم ای موجود است که . از اينكه  نتيجه مي‌شود كه :
پس  را به صورت زير می توان تعريف کرد :

،خوش تعریف است. چون اگر و دو دنباله با شند که و ان گاه :
اما چون*، پيوسته است و  لذا  در نتیجه :
از طرفي اگر :
ویژگی (1)
که ‌چون  پس به ‌طوري که . بنابر این ‌  .
فرض كنيم  و  چون  لذا  به طوري كه  و چون در توپولوژي عمگر قوي (+) تابعي پيوسته است پس  بنابراين :
اما اگر  يا  يكي‌شان عضو  بودند و ديگري نه، بازهم به دليل قبلي پس :
لذا  نيز خطي است.
چون  يك تابع خطي و ضربي است كه * را حفظ مي‌كند لذا *- همومورفيم است و طبق قضيه 8- 1- 4 از [9] :

به این ترتیب هم ويژگي (5) اثبات شد هم اينكه اگر r يك عنصر مثبت باشد و  آن‌گاه  يعني  تابعي مثبت است.
اکنون فرض كنيم  چون  يك  جبر است پس  در نتيجه  و

اما اگر  بنابراين به طوري كه اما به دلیل پیوستگی *، در نتیجه :
علاوه بر اين به جز حالتي كه  يك عامل نوع  است،  ها را مي‌توان عامل انتخاب كرد. چون طبق ] 21 [، عامل های ابر متناهی دارای خاصیت p شوارتز^[8] هستند ، لذا طبق ] 3 [ قضیه 6 این مطلب معادل این است که القایی است(يعني عامل‌هايي كه به عنوان زیر فضایی از یک فضای باناخ ، برد تصوير‌هايي با نرم 1هستند]3[ ) پس توسط كلاس‌بندي عامل‌هاي القايي در [3] و [7] همه ی اين چنين عامل‌هايي، حاصل ضرب تنسوري نامتناهي از عامل‌هاي متناهي البعد هستند. در واقع که ها عامل هستند پس می توان فرض کرد که و و … که ها با این تعریف عامل می شوند.
درحالتي كه  از نوع  باشد  ها هميشه نمي‌توانند عامل انتخاب شوند چون طبق]2[ ،عامل ابر متناهی از نوع  ،يك عامل كريجر^[9] است یعنی به صورت حاصل ضربي (كراس)، از جبرهاي فون نويمان آبلي است و اين هم ارز اين مطلب است كه امید های شرطی از به رویموجود هستند به طوری که ، به طوری كه یک دنباله از زيرجبرهايي متناهي البعد است.
اما از آن جایی که عامل های نوع ، طبق تعریف 1-3-18 هیچ تصویر متناهی غیر صفر ندارند، پس تنها تصویرمتناهی این عامل ها صفر است و بقیه ی این تصویر ها یا نا متناهی اند یا نامتناهی محض.هم چنین طبق تعریف 3-3-1، تجزیه پذیر شمارا ست و طبق ]9 [قضیه 5-3-6، تصویرهای نا متناهی هم ارز بوده و تصویر های نا متناهی محض در عامل های تجزیه پذیر شمارا هم ارز هستند اگر و فقط اگر دارای محمل مرکزی یکسان باشندکه چون ،یک عامل است محمل مرکزی هر دو تصویر ان یکی هستند. لذاتصويرهاي غيرصفر در عامل‌هاي تجزيه‌پذير شماراي نوع، هم ارز هستند.از طرفی تصویر ها را می توان به تصویر های کوچک تر تقسیم بندی کرد که ان هم طبق مطلب با لا هم ارز هستند. پس می توان از خانواده ی اینچنین تصویر های هم ارز،یک دستگاه از ماتریس های یکه و به دنبال ان را نیز ساخت.
به این ترتیب که طبق ] 9[، صفحه ی 429، این خانواده ی متعامد از تصویر ها ی هم ارز یک دستگاه خود الحاق از ماتریس های یکه برای یک زیرعاملی از همچون هستند که چون تنها عناصری از . که با عناصر ان جابجا می شوند است در نتیجهطبق قضیه 3-6-6 از ] 9[، برای هر ،که با توجه به ساختار و اینکه ها زیر جبرهایی از عامل های تجزیه پذیر نوع بودند می توان نتیجه گرفت که .

لذا در هر حالت، براي هر  ، زيرعامل در  موجود است كه براي همه  ها،  .
اکنون فرض كنيم  همان طور كه در متن قضيه بيان شده، باشد و. را به عنوان يك نگاشت كاملاً مثبت يكاني از  به  نگاه مي‌كنيم چرا كه  اميدهاي شرطي هستند كه طبق ويژگي‌هاي اميد شرطي نتيجه مي‌شود كه  ها نگاشت‌هايي خطي و مثبت هستند كه در واقع *- همومورفيسم بين دو  جبر نيز محسوب مي‌شوند (در قسمت قبلي اين مطلب اثبات شد). پس طبق مطلبي از [3] صفحه‌ 1۰9،  يك نگاشت كاملاً مثبت بوده و  (البته اين مطلب در [9] در تمرين 6-5-11 قسمت (i) بيان شده) بنابراين  يك نگاشت مثبت است كه چون  لذا  در نتيجه،  نيز مثبت است. پس  يك نگاشت كاملاً مثبت است و به ازاي هر  . چون طبق قضيه 3- 1-3 وقتي  يك نگاشت كاملاً مثبت باشد آن‌گاه  از طرفي  پس  . بنابراين باپذيرفتن حالت متناهي البعد بودن اين قضيه (كه در فصل‌ بعدي اثبات خواهد شد) نتيجه مي‌شود كه :
( 3-6 )
چون بنابر این همانند اثبات قضیه 3-1-3، با قرار دادن می بینیم که،
اکنون چون زیر عامل از موجود است به طوری که ، امید شرطی از به ، نقاط را به می نگارد به عبارتی نقاط را به مولفه ی در می نگارد پس :
بنابراین  نقاط  را جدا مي‌كند به اين منظور كه به ازاي هر  عضو  كه  ،  .اگر  و  آن‌گاه به طوري كه و . اکنون اگر فرض كنيم  بنابراين  و اين متناقض با فرض است.
اگر  باشد ان گاه  كه اگر  آن‌گاه  و اين نيز متناقض با فرض است. بنابراين براي هر  ،  . اکنون طبق لم 3- 2-2 :
( 3-7 )
كه با جايگذاري رابطه ( 3-6 ) در رابطه ( 3-7 ) نتيجه مي‌شود كه  و چون  پس  (چون  بسته است) ■
خاطر نشان مي‌كنيم كه وجود نقاط فرين  در زير مجموعه‌هاي محدب  فشرده ی ضعيف ستاره ی  از جبر فون نويمان  در [11] اثبات شده اما نقاط فريني كه در [11] بدست آمدند براي توليد  كافي و مناسب نيستند و در حالت كلي بيان شدند. لذا براي جبرهاي فون نويمان اين مسئله كه هر زير مجموعه ی محدب  فشرده ی ضعيف ستاره توسط نقاط  فرنيش توليد مي‌شود، حل نشده است.
فصل پنجم
نقاط فرين C^* در جبر فون نويمان متناهي البعد 
4-1:نقاط فرينزير مجموعه‌هاي محدبنرم- بسته از جبر فون نويمان: