یک ویژگی مهم از شبکه تصادفی این است که در تخمین قیمت اختیار در یک گره در زمان ، شبکه نه فقط از جانشین گره اولیه استفاده می‌کند بلکه از مقادیر همه گره‌ها در زمان نیز استفاده می‌کند. در نتیجه این خاصیت، این روش تعداد گره‌ها در هر مرحله زمانی تثبیت‌شده، حفظ می‌نمایید. بنابراین از رشد نمایی درخت تصادفی اجتناب می‌نمائید.
– روش شبکه تصادفی برای n=1، T=4 و b=4
تولید متغییر‌های تصادفی و تعیین وزنها:
در تحلیلهای بعدی چگالی شرطی از گره به گره توسط و تابع چگالی حاشیه‌ای از با نشان داده می‌شود. فرض شده است که ساختار شبکه مارکوفی باشد به این معنا که برای بردارها برای همانند نمونه‌های توزیع‌شده به صورت یکسان و مستقل از تابع چگالی یکسان استخراج شده‌اند.
ارزش اختیار امریکایی در (۲-۱۱۹) در زمان ارائه شده است. هدف تقریب قیمت صحیح اختیار ( ) در هر حالت در زمان برای با بهره گرفتن از اطلاعات ایجاد شده از تخمین‌های شبکه از قیمت اختیار ( ) در زمان برای است. به عبارتی دیگر باید یک تخمین از برای با بهره گرفتن از اطلاعات ایجاد شود. مهمترین پیامد این است که چگالی شرطی از گره به صورت است در حالی که گره‌های شبکه برای همگی از تابع چگالی حاشیه‌ای نمونه‌گیری شده‌اند. برودی و گلسرمن (۲۰۰۴) نشان داده‌اند که می‌توان بر این مشکل غلبه کرد و یک تخمین سازگار از برای با تعدیل وزنی که هر مشاهده در زمانt+1 در محاسبه انتظارات مشخص خواهد شد، تولید کرد. در عمل:
با فرض منتج (۲-۱۲۲) و تعریف تخمین‌زن‌های شبکه برای و به صورت زیر
که
می‌توان یک تقریب از قیمت مشتقات توسط شبیه‌سازی شبکه بدست آوریم.
انتخاب چگالی شبکه:
انتخاب صحیح از چگالی استفاده‌شده در تولید شبکه ضروری است تا کارایی‌ها در محاسبه تخمین‌ها به کار گرفته شود. به منظور ارائه اثری که تابع چگالی ممکن است روی واریانس تخمین زنها داشته باشد برودی وگلسرومن(۲۰۰۷) قیمت‌گذاری توسط روش شبکه از یک مشتق اروپایی با سررسید سه ماهه در نظر گرفته‌اند آنها نشان داده‌اند که می‌توان را به صورت زیر نوشته شود:
آخرین خط توضیح می‌دهد که تخمین‌زن شبکه فقط یک ترکیب خطی از بازدهی‌های سررسید است. با تعمیم برای سررسید قیمت اختیار اروپایی به صورت زیر نوشته می‌شود:
که
بنابراین نسبت درستنمایی در (۲-۱۲۷) به عنوان یک وزن مناسب با گره در شبکه تفسیر می‌شود. برودی-گلسیرمن (۲۰۰۴) در گزاره (۱) نشان می‌دهند که واریانس نسبت‌های درستنمایی به صورت نمایی با زمان سررسید رشد می‌نمایند. با این حقیقت معلوم، یک انتخاب نادرست از چگالی شبکه ممکن است به تخمین‌های به شدت نادرست تبدیل شود همانطور که سر‌رسیدها رشد می‌نمایند. به این دلیل آنها روشی را ارائه می‌دهند که به طور کامل واریانس را با ساختن ضرایب نسبت درستنمایی ثابت و معادل واحد، حذف می کند بنابراین با تنظیمات زیر به نتیجه مناسب می‌رسند. برای داریم:
و برای داریم
با بهره گرفتن از میانگین‌گیری توابع چگالی (۲-۱۲۸) و (۲-۱۲۹) هر به صورت یکسان و معادل یک هستند. در نتیجه تخمین شبکه از قیمت اختیار اروپایی فقط میانگین بازدهی‌های تنزیل شده نهایی است:
با بهره گرفتن از این نتیجه در معادله (۲-۱۲۰) و (۲-۱۲۱) وزن استفاده شده در تخمین‌زن شبکه برای انتقال از برای روی امین مسیر به برای روی امین مسیر به صورت زیر است
این ساختاری است که در تحلیل عددی به کار برده خواهد شد.
اریب بالا:
تخمین زن ایجاد شده توسط روش شبکه تصادفی یک تخمین با اریب بالا است. برای توضیح این مسئله گلسیرمن (۲۰۰۴) یک استدلال استقرایی ارائه کرده است. فرض اولیه استقرا به این صورت است که اگر برای بعضی‌ها و داشته باشیم:
بنابراین آن برای همه زمان های کوچکتر از برقرار خواهد بود. با بهره گرفتن از (۲-۱۲۰) و (۲-۱۲۱) و نا‌مساوی جنسین را می‌توان نوشت:
توسط شرایط بیشتری روی و فرض که یک تابع غیر‌تصادفی از و است بنابراین انتظارات در طرف راست (۲-۱۳۳) به صورت زیر نوشته می‌شود:
که مساوی دوم از تولید گره‌های با توزیع یکسان و مستقل برای و استخراج می‌شود. با بهره گرفتن از فرضیه اسقرایی (۲-۱۳۲) و (۲-۱۳۳) داریم:
با بهره گرفتن از این نتیجه همراه با فرض منطقی که اگر ارزش صحیح اختیار در زمان را بدانیم متوسط وزنی مورد انتظار محاسبه شده در یک گره در زمان باید ارزش صحیح پیوسته[۸۶] باشد بنابراین می‌توان نوشت:
در انتها با بهره گرفتن از این نتیجه در درون (۲-۱۳۳) نتیجه می‌گیریم که:
رابطه فوق همان مسئله‌ای است که قصد بررسی آن را داشتیم.
تخمین زن اریب پایین:
همانند روش درخت تصادفی تخمین‌زن اریب پایین را می‌توان محاسبه کرد و با ترکیب آن با تخمین‌زن شبکه می‌توان بازه اطمینان برای قیمت اختیار بدست آورد برای ایجاد چنین تخمین‌زن بایستی مسیرهای اضافی دیگری از فرایند قیمت دارایی مورد نظر شبیه‌سازی نماییم
تا هنگا‌می‌که به ناحیه اعمال تعیین‌شده با بهره گرفتن از روش شبکه برسیم یک ویژگی مهم از این تخمین‌زن این است که روش شبکه فقط برای تعیین در هنگام اعمال استفاده می‌شود. بازدهی در زمان اعمال توسط مسیر مستقل تعیین می‌شود و آن یک ارزش تخمین‌زده شده از شبکه نیست.
با شروع از زمان شبیه‌سازی یک مسیر جدید از روی تعداد زیادی گام زمانی اغاز می‌نماییم طی این مسیر سیاست تقریب بهینه تعیین‌شده توسط روش شبکه به صورت زیر است:
که وزنی از گره روی مسیر مستقل به گره در شبکه و با بهره گرفتن از معادله (۲-۱۲۰) و (۲-۱۲۱) تعیین می‌شود. بنابراین تخمین‌زن مسیر به صورت زیر است:
در عمل بعد از شبیه‌سازی مسیر مستقل در هر گره از (۲-۱۲۰) و (۲-۱۲۱) با وزن جدید استفاده می‌نمائیم تا ارزش دنباله‌ای اختیار در هر گره تخمین بزنیم و این فرایند تا هنگا‌می‌که ارزش پیوسته تخمین زده شده کوچکتر یا مساوی با ارزش اعمال است ادامه می‌یابد. این فرایند روی مسیرهای زیاد تکرار می‌شود و به منظور تولید یک تخمین از میانگین‌گیری می‌شود.
- مسیرهای شبیه سازی قیمت دارایی با شروع
فرم در حال بارگذاری ...
