(۳-۱)
که در آن x دانسیته سلولی (گرم بر لیتر)، µ نرخ رشد ویژه (بر ساعت) و t مدت زمان فرایند تخمیر (ساعت) است. مدل متهیوس تنها برای توصیف رشد سلول در فاز نمایی کاربرد دارد. فاز رشد نمایی مهمترین فاز رشد میکروبی است به خصوص در مورد محصولاتی که به رشد سلول[۲۶۶] وابسته اند. عمده رشد در محیط کشت سلولی در فاز نمایی اتفاق می افتد و دو برابر شدن تناوبی بیومس در این فاز رخ می دهد. اما سلولها نمی توانند این فاز رشد را برای مدت زمان نامحدود حفظ کنند و پس از مدتی وارد فاز سکون می گردند. پرل و رید[۲۶۷] معادله (۳-۱) را با افزودن عبارتی که اثرات بازدارندگی را در غلظتهای بالای سلول لحاظ می کرد به صورت زیر تصحیح کردند [۱۱۶]:
(۳-۲)
عبارت دوم در معادله فوق فرض می کند که “بازدارندگی” با توان دوم غلظت سلولی متناسب است و انتگرال گیری از آن منجر به معادله لجستیک[۲۶۸] می شود:
(۳-۳)
که در آن ثابت k در واقع حداکثر نرخ رشد ویژه در محیط کشت و γ معکوس غلظت نهایی سلول (xm) است. با این تعاریف می توان معادله لجسیک را به صورت زیر بازنویسی کرد [۱۱۶]:
(۳-۴)
مدل لجسیک می تواند فازهای تاخیر، نمایی و سکون را در پروفایل رشد سلولی توصیف کند اما قادر به توصیف فاز مرگ سلول نیست. برای ارائه مدل رشد جامعی که نرخ رشد و مرگ سلولها را شامل شود از مدل ولترا[۲۶۹] استفاده گردید. در یک محیط کشت ناپیوسته که به تازگی تلقیح شده است در ابتدا تعداد محدودی سلول زنده وجود دارد که با مصرف مواد مغذی فرایند رشد این سلولها آغاز می گردد. فرض می شود که تغییرات جمعیتی در این سلولها تنها با تولید و مرگ سلولها اتفاق می افتد و هیچ انتقالی از محیط بیرون در این شرایط صورت نمی گیرد. برای توصیف چنین شرایطی در قالب یک مدل ریاضی، مدل متهیوس برای اجزایی که بعد از تلقیح شروع به رشد می کنند به صورت زیر است [۸۲]:
(۳-۵)
برای به دست آوردن تابعی خطی و کاهشی برای جمعیت سلولی، اثر بازدارندگی روی رشد سلول لحاظ گردید [۸۲]:
(۳-۶)
که در آن x1 جمعیت سلولی در حال رشد و x2 جمعیت سلولی در حال کاهش در نتیجه تولید محصولات جانبی سمی یا تقلیل مواد غذایی (گرم بر لیتر) است. با جایگذاری معادله (۳-۶) در معادله (۳-۵) رابطه زیر حاصل می گردد:
فرم در حال بارگذاری ...
