وبلاگ

شکل (۵-۳۲) مقایسه الگوریتم مطرح شده به ازای سیگنال دریافتی در زاویه ۱۰^۰ ، ۳۳^۰، ۳۸^۰ به ازای تعداد لحظات مشاهده ۱۲۸ و تعداد بین فرکانسی ۱۲۸ (محاسبه RMS1 خطا بر مبنای SNR های متفاوت)
شکل (۵-۳۳) مقایسه الگوریتم مطرح شده به ازای سیگنال دریافتی در زاویه ۱۰^۰ ، ۳۳^۰، ۳۹^۰ به ازای تعداد لحظات مشاهده ۱۲۸ و تعداد بین فرکانسی ۱۲۸ (محاسبه RMS1 خطا بر مبنای SNR های متفاوت)
به طور کلی چند قاعده کلی را می‌توان در خروجی شبیه سازی مشاهده نموده به ازای SNR های بالاتر از db18 کلیه روش‌ها جواب بسیار دقیقی ارائه می‌دهند که با توجه به حجم محاسبات کمتر روش میوزیک^[۱۱۷] می‌توان با محاسبات کمتر به نتیجه مورد نظر دست یافت.
ولی در SNR کمتر از db8 روش‌های کاپون^[۱۱۸] و میوزیک اصلاً قادر به شناسایی سیگنال‌هائی که با اختلاف زاویه کمتر از ۵ وارد می‌شوند نبوده و در واقع در بازده SNR های کمتر از db4 روش ویو^[۱۱۹] با خطای کمتری(RMS ERROR) خروجی را ارائه می کند(مطابق شکل‌های ۵-۳۰ الی ۵-۳۳). روش TOPS در SNR های بین db4 الی db12 خروجی با خطای کمتری(RMS ERROR) نسبت به سایر الگوریتم‌ها داشته ولی به ازای SNR‌های کمتر از db3 به شدت میزان خطای این روش افزایش می یابد و الگوریتم ویو با خطای کمتری قادر به شناسائی زاویه ورود سیگنال می‌باشد.
همان گونه که در شکل ۵-۳۰ مشاهده می‌گردد هنگامی که سیگنال سوم با زاویه ^۰۳۶ ارسال می‌گردد(اختلاف زاویه دو سیگنال دریافتی کمتر از ^۰۳) الگوریتم‌های capon و SSFوMUSIC قادر به تشخیص زاویه ورود آن نبوده ولی به ازای SNR های بالاتر از dB12 در الگوریتم میوزیک خطا به شدت کاهش می‌یابد.
در SNR های بین db12 تا db4 کمترین میزان خطا (RMS) توسط الگوریتم TOPS حاصل می‌گردد و پس از آن الگوریتم ویو دارای خطای کمتری می‌باشد. در SNR های کمتر از db5 الگوریتم ویو خروجی بهتری را ارائه می کند در صورتی که زاویه ورود سیگنال به ^۰۳۵ کاهش ‌نماید در واقع اگراختلاف زاویه ورود سیگنال ها کمتر از ^۰۳ گردد عملاً هیچ کدام از روش‌‌ها قادر به ارائه تخمین دقیقی از زاویه ورود نمی باشند. ولی در اختلاف زاویه‌های بین ^۰۳ تا ^۰۵ با SNR<3^db روش ویو تقریباً بهترین خروجی را ارائه می نماید ودر SNRهای بالاتر از db4 روش WAVE,TOPو پس از آن الگوریتم MUSIC دارای حداقل خطا بوده و در SNR های بالاتر از db12 روش SSF و SNR بالاتر از db16 الگوریتم کاپون نیز قادر به شناسائی زاویه سیگنال ها می‌باشد. با توجه به حجم محاسبات بسیار بالای روش TOPS در واقع استفاده از این الگوریتم به ازای SNR های بین dB4 تا dB12 مقرون به صرفه می باشد.در SNRهای بالاتر ازdB 12 با توجه به حجم کم محاسباتی روش MUSIC و خروجی دقیق آن استفاده از این روش بنظر مناسب تر می باشد وخطای آشکارسازی به صفر هم گرا می‌گردد. درکابردهای با SNRهای پائین تر ازdB 12 روش‌های همبسته خروجی قابل قبول‌تری را ارائه می‌دهد.
در شکل‌های ۵-۳۴ الی ۵-۳۰ با تغییر زاویه ورود سیگنال سوم از ۳۷ الی ^۰۳۹ میزان خطای هر الگوریتم به ازای SNR متفاوت نشان داده شده است هم چنین در شکل‌های ۵-۳۵ الی ۵-۳۸ با تغییر تعداد بین فرکانسی و تعداد لحظات مشاهده خروجی الگوریتم‌ها نمایش داده شده است. با توجه به پیش فرض‌های صورت گرفته در شبیه سازی الگوریتم‌های ارائه شده برای سیگنال‌های پهن باند می توان به عوامل مؤثر زیر اشاره نمود.

۱- استفاده از فیلتر بانک FFT به منظور تبدیل سیگنال پهن باند به مجموعه‌ای از سیگنال های باند باریک. کدر صورت کاهش تعداد بین‌های فرکانسی، تخمین سیگنال به صورت باند باریک دارای خطای بسیار زیادی می‌باشد.
۲- بروز Leakage, Aliasing و Picket Fence Effect
با فرض fs فرکانس نمونه‌برداری از سیگنال دریافتی، فاصله‌ بین دو نمونه متوالی و N‌ برابر با تعداد نمونه‌های هر Snapshot و T مدت زمان یک Snapshot و T₀ مدت زمان کل مشاهده، روابط زیر هموار برقرار می‌باشد:
(۵-۱)
(۵-۲)
(۵-۳)
که fs فرکانس نمونه‌برداری(برای جلوگیری از Aliasing حداقل دو برابرپهنای باند سیگنال )، T₀‌کل مدت زمان شاهد، K* N کل نمونه‌های مشاهده شده، N تعداد سمپل‌های هر Snapshot می باشد که در واقع تعداد بین‌های فرکانسی را مشخص می کند. (معادل طول FFT می‌باشد) و K برابر با تعداد لحظات مشاهده تعریف می‌گردد.
با توجه به رابطه (۵-۳) و موارد مطرح شده در بالا در صورتی با افزایش فرکانس نمونه‌برداری F_s، حداکثر فرکانس قابل شناسائی F_s/2، رزولوشن در حوزه زمان افزایش و در حوزه فرکانس کاهش می‌یابد. با افزایش با توجه به رابطه ۵-۱(فاصله بین نمونه های فرکانسی) افزایش یافته و در واقع fs کاهش پیدا می‌کند ولی با افزایش N در صورت ثابت بودن کل زمان مشاهده ‌ با توجه به رابطه ۵-۳ می‌بایست تعداد لحظات مشاهده را کاهش دهیم که خود باعث افزایش اثرات Picket Effect می‌گردد، پس در واقع نحوه تغییر تعداد بین‌های فرکانسی و تعداد Snapshot ها بر مبنای شرایط اعمالی بر روی پارامترهای تاثیرات متفاوتی بر خروجی بانک فیلتر می‌گذارد. الگوریتم های همبسته نسبت به تغییر تعداد بین های فرکانسی بسیار حساس بوده و کاهش تعداد بین‌های فرکانسی بر روی میوزیک کمتر از روش‌های همبسته باعث افزایش میزان خطا در شناسایی سیگنال‌های با اختلاف زاویه کوچک می‌گردد. اما با توجه شکل‌های ۵-۳۹ الی ۵-۴۳ تغییر تعداد بین های فرکانسی تاثیر مشخصی بر روی الگوریتم TOPS قرار نمی‌دهد. با توجه به اینکه در این روش بر خلاف روش میوزیک، زیر فضاهای سیگنال در هر بین فرکانسی به یک فرکانس مرجع انتقال می‌یابد ( بر خلاف روش‌های همبسته که با بهره گرفتن از ماتریس کانونی زیر فضا‌های سیگنال به فرکانس‌ مرجع منتقل می گردد.) تغییر تعداد بین‌های فرکانسی تاثیر بخصوصی در خروجی ایجاد نمی نماید. به طور کلی افزایش نمودار بین های فرکانسی در صورتی که شرایط مفروض برای استفاده از روش‌های باند باریک تحقق یابد تغییر آن خیالی برروی خروجی الگوریتم نمی‌گذارد در واقع افزایش بین‌های فرکانسی در صورت ثابت بودن تعداد snapshot ها معادل کاهش و افزایش رزولوشن می‌باشد که تاثیر زیادی در خروجی الگوریتم‌های جهت یابی نخواهد داشت ولی به منظور ایجاد این افزایش می‌یابست (با فرض K ثابت) با فرکانس نمونه‌برداری افزایش دهیم و یا مدت زمان مشاهده و ثبت اطلاعات افزایش یابد که در اکثر موارد کاربری هزینه بسیار بالائی ارد ولی در صورت کاهش تعداد snapshot ها میزان تغییرات Picket, Fence, heakage به شدت افزایش می‌یابد و در واقع تاثیر کاهش تعداد Snapshot ها برای الگوریتم های جهت یابی مطابق شکل‌های ۵-۳۹ تا ۵-۴۳ نشان داده شده است همان گونه که انتظار می‌رود در SNR ها پائین در اختلاف زاویه کم سیگنال، افزایش تعداد Snapshot ها می‌تواند باعث کاهش میزان RMS خطا گردد. به منظور کاهش میزان خطا در SNR های پایین و یا به علت تعداد کم Snapshot ها می‌توان با بهره گرفتن از روش windowing در بانک فیلتر FFT علاوه بر اینکه اثرات Leakageکاهش می یابد.انجام این فرایند به گونه‌ای معادل افزایش تعداد Snapshotها می‌باشد.
شکل (۵-۳۴) مقایسه الگوریتم مطرح شده به ازای سیگنال دریافتی در زاویه ۱۰^۰ ، ۳۳^۰، ۳۴^۰ به ازای تعداد لحظات مشاهده ۱۰۰ و تعداد بین فرکانسی ۴ (محاسبه RMS1 خطا بر مبنای SNR های متفاوت)
شکل (۵-۳۵) مقایسه الگوریتم مطرح شده به ازای سیگنال دریافتی در زاویه ۱۰^۰ ، ۳۳^۰، ۳۷^۰ به ازای تعداد لحظات مشاهده ۱۰۲۴ و تعداد بین فرکانسی ۱۶ (محاسبه RMS1 خطا بر مبنای SNR های متفاوت)
شکل (۵-۳۶) مقایسه الگوریتم مطرح شده به ازای سیگنال دریافتی در زاویه ۱۰^۰ ، ۳۳^۰، ۳۸^۰ به ازای تعداد لحظات مشاهده ۱۰۰ و تعداد بین فرکانسی ۸ (محاسبه RMS1 خطا بر مبنای SNR های متفاوت)
شکل (۵-۳۷) مقایسه الگوریتم مطرح شده به ازای سیگنال دریافتی در زاویه ۱۰^۰ ، ۳۳^۰، ۳۸^۰ به ازای تعداد لحظات مشاهده ۱۰۰ و تعداد بین فرکانسی ۱۶ (محاسبه RMS1 خطا بر مبنای SNR های متفاوت)
شکل (۵-۳۸) مقایسه الگوریتم مطرح شده به ازای سیگنال دریافتی در زاویه ۱۰^۰ ، ۳۳^۰، ۳۸^۰ به ازای تعداد لحظات مشاهده ۱۰۰ و تعداد بین فرکانسی ۱۶ (محاسبه RMS1 خطا بر مبنای SNR های متفاوت)
شکل (۳۹-۵) مقایسه الگوریتم‌های متفاوت به ازای دو سیگنال دریافتی در زاویه‌های ۱۰^۰ و ۳۳^۰ و زاویه سیگنال سوم بین مقادیر ۲۷^۰ الی ۳۹^۰ به ازای SNR=2 و تعداد‌ لحظات مشاهده SNAP=128 و تعداد در بین فرکانسSamp=64
شکل (۴۰-۵) مقایسه الگوریتم‌های متفاوت به ازای دو سیگنال دریافتی در زاویه‌های ۱۰^۰ و ۳۳^۰ و زاویه سیگنال سوم بین مقادیر ۲۷^۰ الی ۳۹^۰ به ازای SNR=5 و تعداد ‌لحظات مشاهده SNAP=128 و تعداد در بین فرکانسSamp=64
شکل (۴۱-۵) مقایسه الگوریتم‌های متفاوت به ازای دو سیگنال دریافتی در زاویه‌های ۱۰^۰ و ۳۳^۰ و زاویه سیگنال سوم بین مقادیر ۲۷^۰ الی ۳۹^۰ به ازای SNR=9 و تعداد ‌لحظات مشاهده SNAP=128 و تعداد در بین فرکانسSamp=64
شکل (۴۲-۵) مقایسه الگوریتم‌های متفاوت به ازای دو سیگنال دریافتی در زاویه‌های ۱۰^۰ و ۳۳^۰ و زاویه سیگنال سوم بین مقادیر ۲۷^۰ الی ۳۹^۰ به ازای SNR=14 و تعداد ‌لحظات مشاهده SNAP=128 و تعداد در بین فرکانسSamp=64
شکل (۴۳-۵) مقایسه الگوریتم‌های متفاوت به ازای دو سیگنال دریافتی در زاویه‌های ۱۰^۰ و ۳۳^۰ و زاویه سیگنال سوم بین مقادیر ۲۷^۰ الی ۳۹^۰ به ازای SNR=16 و تعداد ‌لحظات مشاهده SNAP=128 و تعداد در بین فرکانسSamp=64
مطابق اشکال بالا‌ SSF و Capon، بیشترین حساسیت را نسبت به کاهش تعداد لحظات مشاهده داشته و پس از آن الگوریتم Wave و TOPS نسبت به کاهش تعداد Snapshot ها با خطای بیشتری در خروجی مواجه می‌گردند.
در انتها می‌بایست خاطر نشان کرد که در کاربردهای با SNR های بالا و با زوایای تفکیک بیشتر از ^۰۵ استفاده ازالگوریتم های ناهمبسته با حجم محاسبات بسیار کمتر مناسب تر و در صورت کاهش SNR و زاویه تفکیک سیگنال ها، الگوریتم Wave خروجی مناسب‌تری ارائه می‌دهد و به ازای کلیه SNRهای بزرگتر از db3 و زوایای تفکیک کوچک الگوریتم TOPS بهترین خروجی را ارائه می کند ولی در عوض حجم محاسبات لازم را به شدت افزایش می‌دهد.
در حقیقت، SNR سیگنال دریافتی و تفکیک زاویه ورود سیگنال ها به آرایه آنتن، دو پارامتر بسیار مهم در میزان کارایی جهت یابی هر الگوریتم، محسوب می گردد. در SNRهای بسیار پایین، روش WAVEجواب بهتری را نسبت به روش های دیگر ارائه می دهد. در SNRهای بالاتر از ، کلیه روش ها، خروجی تقریباً یکسانی خواهند داشت. هم چنین، زمانی که اختلاف زاویه ورود دو منبع در حدود باشد، در ، هیچکدام از الگوریتم ها، قادر به تفکیک دو منبع نیستند (مطابق شکل های شماره (۵-۲۵) تا (۵-۳۰) الگوریتم های MUSIC، Capon و CSM، زاویه ورود، تقریباً درجه شناسایی می گردد. اما در روش WAVES، زاویه ورود به درستی و برابر با ۳۰ درجه شناسایی می گردد و در زوایه ۳۳ درجه با وجود این که منبعی را شناسایی نمی نماید، مطابق شکل (۵-۳۰)، اختلاف شیب شدیدی در اطراف زاویه ۳۳ درجه وجود دارد. در حقیقت، در SNR پایین و اختلاف زاویه ورود کم، روش WAVES بهترین خروجی با حداقل خطا را ارائه می نماید و پس از آن، روش MUSIC، از کمترین میزان خطا برخوردار است. اما در SNRهای پایین، در صورتی که اختلاف زاویه ورود دو سیگنال بزرگتر یا مساوی ۵ درجه باشد ()، روش MUSIC، بهترین خروجی را ارائه نموده و با دقت بسیار زیاد می تواند زاویه ورود سیگنال را تخمین بزند.
با توجه به این که در الگوریتم کاپون، از تخمین Capon Rank 1 استفاده گردیده است، خروجی این روش در SNRهای پایین و یا اختلاف کم زاویه ورود سیگنال ها، دچار خطا می گردد. شایان ذکر است که در SNRهای کم، میزان خطا در زاویه ورود افزایش می یابد و با کاهش زاویه ورود سیگنال ها (نزدیک شدن سیگنال ها به هم)، تعداد منابع که توسط الگوریتم Capon شناسایی می گردد، کاهش یافته و قادر به شناسایی صحیح تعداد منابع ارسال سیگنال نخواهد بود. همان گونه که پیش تر در فصل سوم بررسی و اشاره گردید،روش Capon، با الگوریتم Geometric، در مقایسه با دو روش Arithmetic و Harmonic، از خروجی بسیار مناسب تری برخوردار است.
فصل ششم
نتیجه‌گیری و پیشنهادات
۶-۱- نتیجه‌گیری
در این پایان نامه الگوریتم‌های مختلف جهت‌یابی سیگنالهای پهن باند که بر مبنای استفاده از فیلتر بانک در ورودی آنتنهای آرایه‌ای طراحی شده است را مورد بررسی قرار داده‌ایم.
به طور کلی الگوریتم‌های جهت‌یابی بر مبنای سیگنالهای باند باریک معرفی گردیده‌اند بدین منظور سعی شده که با بهره گرفتن از فیلتر بانک ابتدا سیگنال‌های پهن باند را به بین‌های باند باریک تفکیک نموده سپس دو روش کلی تخمین زاویه ورود سیگنال ارائه می‌گردد.
۱- پردازش هر بین فرکانسی بصورت مشعل از بین‌های دیگر (الگوریتم های ناهمبسته) و محاسبه زاویه ورود در هر بین فرکانسی و ترکیب نتایج آن به منظور محاسبه زاویه نهایی. از جمله این الگوریتم‌ها می‌توان به الگوریتم میوزیک، کاپون، اشاره نموده که الگوریتم میوزیک بر مبنای تفکیک زیر فضای سیگنال از زیر فضای نوپر با بهره گرفتن از تابع چگالی خود همبستگی داده‌های تولید شده از آنتن ارائه‌ای در هر بین فرکانسی بصورت مستقل، شروع به تخمین زاویه ورود منابع می کند و سپس با بیانگیری از زوایای تخمین زده شده در بین‌های فرکانسی زاویه ورود را تشخیص می‌دهد در الگوریتم کاپون با بهره گرفتن از روش جهت دهی بین‌های فرکانسی سعی در حداقل نمودن توان سیگنال در جهت‌های نامطلوب نموده سپس زاویه ورود سیگنال را با بهره گرفتن از حداکثر نمودن توان در جهت زاویه رود سیگنال تشخیص دهد و سپس با بهره گرفتن از میانگین گیری سعی در تشخیص زاویه ورود نهائی می‌نماییم. بطور کلی الگوریتم‌های ناهمبسته در SNR های بالا و به ازاء اختلاف زاویه ورود سیگنال‌ها بزرگتر از ۵^۰ خروجی دقیقی را ارائه می‌دهد هم چنین پیاده سازی و اجرای این الگو‌ریتم‌ها دارای حملات بسیار کمی نسبت روش های همبسته می‌باشد که محتاج آن در SNR های متفاوت و زوایای ورود مختلف با بهره گرفتن از شبیه سازی در فصل پنجم معرفی شده.
۲- الگوریتم‌های همبسته که در واقع با ترکیب داده های کلیه بین های فرکانسی سعی در تخمین زاویه ورود و سیگنال می کند بر این مبنا می‌توان به دو الگوریتم بسیار مهم C.S.S.M^[120] و W.A.V.E^[121] اشاره نمود. اسا کار در این الگوریتم‌ها بر مبنای محاسبه زیر فضای سیگنال و تفکیک آن از زیر فضای نویز با بهره گرفتن از محاسبه تابع چگالی خود همبستگی کل سیگنال پهن باند می‌باشد در الگویتم CSSM ابتدا تابع چگالی خود همبستگی در هر بین فرکانسی محاسبه گردیده سپس با تولید یک ماتریس کانونی به ازاء هر بین فرکانسی سعی در انتقال توابع هر بین به یک بین مرجع می‌نمائیم در آخر تابع چگالی خود همبستگی کل سیگنال را با جمع توابع اتصال از یکی الگوریتم‌های باند باریک محاسبه می‌نمائیم از چالشهای مهم این و نیاز به داشتن زاویه وورد سیگنال می‌باشد که خود یک پارامتر مجهول بوده بدین منظور ابتدا می‌بایست با بهره گرفتن از الگوریتم‌های ناهمبسته یک زاویه ورود تقریبی را محاسبه نموده سپس بر اساس این زاویه تخمین زده شده اولیه ماتریس کانونی را تشکیل داده، در صورتی که زوایای ورود اولیه تخمینی اختلاف زیادی با مقادیر واقعی داشته باشد. ( الگوریتم CSSM مرکز همگرا نخواهد شد و زاویه‌ی قادر به تشخیص زاویه ورود سیگنال نخواهد بود ولی در صورت تخمین اولیه مناسب زوایای ورود الگوریتم‌های همبسته در SNR های پائین (SNR<10dB) اختلاف کوچک و زاویای ورود منابع قادر به تشخیص و تفکیک سیگنال‌های ارسالی می‌باشد که با بهره گرفتن از شبیه سازی سعی در پیاده سازی این الگوریتم در فصل پجم کرده‌ایم.
در انتها الگوریتم دیگری که هم دارای خواص الگوریتم‌های همبسته و هم الگوریتم‌های ناهمبسته می‌باشد را ارائه نموده (JOPS) در واقع این الگوریتم بدون نیاز به استفاده از ماتریس کانونی اقدام به انتقال کلیه بین‌های فرکانسی به یک بین مرجع می کند به علت عدم نیاز به محاسبه تخمین زاویه اولین این الگوریتم به ازاء SNR های بزرگتر از ۵dB از بقیه الگوریتم‌های دیگر خروجی بسیار دقیقتری را ارائه می‌دهد ولی از حجم محاسبات بالائی برخوردار می‌باشد.
۶-۲- پیشنهادات
مبنای کار این پایان نامه بر اساس مشخص بودن تعداد منابع هم چنین ایستان بودن و اضطراری و سیگنال نوپر و سیگنال منابع ارسال پایه گذاری شده است و نیز فرض گردیده که کلیه سیگنال‌های دریافتی از منابع مستقل ارسال گردیده و هیچ همبستگی با یکدیگر ندارند. یکی از زمینه‌هائی که برای ارائه کار وجود دارد. تغییرمفروضات مطرح شده در بالا می‌باشد و هم چنین مقایسه میزان دقت هر الگوریتم به ازای فرکانس نمونه برداری متفاوت و تعداد مختلف لحظات مشاهده می تواند باشد.
مراجع

1. 1. Stoica, P., and R. Moses, Spectral Analysis of Signals, Prentice Hall, 2005.

1. 1. Roy, R., and T. Kailath, ‘‘ESPRIT-Estimation of Signal Parameters Via Rotational Invariance Techniques,’’ IEEE Trans. on Signal Processing, Vol. 37, No. 7, July 1989,pp. 984–۹۹۵.

1. 1. Schmidt, R., ‘‘Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation,’’ IEEE Trans.on Antennas and Propagation, Vol. AP-34, No. 3, March 1986, pp. 276–۲۸۰.

1. 1. Zatman, M., ‘‘How Narrow Is Narrowband?’’ IEE Proc.-Radar, Sonar Navig., Vol. 145, No. 2, April 1998, pp. 85–۹۱.

1. 1. Chandran, S., and M. K. Ibrahim, ‘‘DOA Estimation of Wide-Band Signals Based on Time-Frequency Analysis,’’ IEEE J. of Oceanic Engineering, Vol. 24, No. 1, January 1999, pp. 116–۱۲۱.

1. 1. Wax, M., and T. Kailath, ‘‘Spatio-Temporal Spectral Analysis by Eigen-Structure Methods,’’ IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. ASSP-32, No. 4, August 1984, pp. 817–۸۲۷.

1. 1. Wang, H., and M. Kaveh, ‘‘Coherent Signal-Subspace Processing for the Detection and Estimation of Angles of Arrival of Multiple Wide-Band Sources,’’ IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. ASSP-33, August 1985, pp. 823–۸۳۱.

1. 1. Doron, M., and A. Weiss, ‘‘On Focusing Matrices for Wide-Band Array Processing,’’ IEEE Trans. on Signal Processing, Vol. 40, No. 6, June 1992, pp. 1295–۱۳۰۲.

1. Hung, H., and M. Kaveh, ‘‘Focusing Matrices for Coherent Signal-Subspace Processing,’’ IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. ASSP-36, No. 8, August 1988, pp. 1272–۱۲۸۲