وبلاگ

۳-۲ معادلات توصیف کننده­ مدل

معادلات MHD مربوط یه این مدل را به تفصیل در فصل دو بررسی نمودیم. برای تحلیل دقیق­تر و بررسی میرایی امواج که منجر به گرمایش کرونا می­ شود جملات مربوط به چسبندگی و پخش مغناطیسی را هم در معادلات وارد می­کنیم به این ترتیب از معادلات MHD غیرایده آل به جای ایده­آل استفاده می­کنیم. با بهره گرفتن از این دو جمله قادر خواهیم بود میرایی انرژی موج در محیط مغناطیسی سیخک را توضیح دهیم. بعلاوه دو اثر دیگر که یکی سرعت زمینه غیرصفر یا سرعت حرکت رو به بالای پلاسما است و دیگری لایه­بندی چگالی، ناشی از میدان گرانشی سطح خورشید، را وارد می­کنیم.

بنابراین معادلات اصلی را یکبار دیگر با اعمال این شرایط وارد می­کنیم:

در رابطه­ دوم بعد از اعمال اختلال مرتبه اول، عبارتی به صورت زیر خواهیم داشت.
اختلال چگالی را در یک نقطه مشخص ( x , z ) به صورت تابع زمان در نظر می­گیریم و با توجه به اینکه فقط حالت امواج غیرتراکمی مد نظر است از تغییرات فضایی آن صرفنظر می­کنیم. از طرفی با توجه به اینکه فشار در راستای عمود بر سطح ( عمود بر راستای اختلال سرعت ) است، لذا تغییری را برای این پارامتر در راستای افقی در نظر نمی­گیریم. حال با اعمال این تغییرات در معادله اصلی نهایتا خواهیم داشت:
که در آن اختلال میدان مغناطیسی بدون بعد است. از طرفی عبارت ، که بیانگر تعادل نیروهای هیدروستاتیکی در راستای قائم هست نیز باید برابر صفر باشد.
با توجه به اینکه شرط تراکم­ناپذیری ایجاب می­ کند که تغییرات سرعت اختلالی در راستای قائم برابر با صفر باشد
تغییرات متناظر با x نیز در طرف اول معادله وجود ندارد، لذا تعادل هیدروستاتیکی به شکل زیر کاهش می­یابد.
با بهره­ گیری از معادله حالت گاز کامل در شرایط ایده­آل خواهیم داشت:
لذا می­توانیم چگالی و فشار را بصورت توابع اکسپونانسیلی زیر بنویسیم:
در روابط مذکور H بیانگرارتفاع مقیاس چگالی است که مقدار آن برای سیخکها برابر با H=0.5 Mm است
با فرض اینکه :
T=8000k g=272m
و با حذف میدان مغناطیسی همچنین با اعمال اختلال در معادله القای مغناطیسی و با در نظر گرفتن سرعت زمینه­ غیرصفر به معادله زیر می­رسیم:
با ترکیب این معادله و معادله زیر
معادله واحد برای سرعت اختلالی بدست می­آوریم. در این ترکیب فرض می­ شود که در زمان­های به اندازه کافی طولانی، اثر غالب در میرایی امواج همان تاثیر ناهمگنی در راستای x می­باشد.
با توجه به این موضوع که در این شرایط طول موج در راستای میدان، از مقیاس ناهمگنی در عرض سیخک­ها بزرگتر است، لذا از مشتقات مرتبه دوم نسبت به z صرفنظر می­کنیم.با در نظر گرفتن این شرایط معادله نهایی به صورت زیر خواهد بود.
عبارت ناشی از سرعت زمینه غیر صفر در معادله فوق می­باشد لذا وابستگی زمانی سرعت اختلالی به تغییرات در راستای ارتفاع مربوط می­ شود. بیانگر سرعت آلفون است که که در شرایط اختلاط فازی و لایه بندی چگالی با رابطه زیر بیان می­ شود.
α پارامتر کنترل کننده شدت اختلاط فازی است.
شرایط مرزی و شرایط اولیه­ای که برای سرعت اختلاط فازی در نظر می­گیریم به صورت زیر است.
=۰
در شرایط مرزی اولیه جابجایی­های ناشی از اختلال را به مرزهای داخلی سیخکها محدود می­کنیم.
فرض می­کنیم هرکدام از این نوسانات ۵ دقیقه­ای که خارج از این محدوده باشد اثر مستقیمی در بررسی ما نداشته باشد. شرط بعدی بیانگر تغییرات سرعت اختلالی با ارتفاع و عرض سیخک است.
وابستگی سینوسی بیانگر تغییرات سرعت اختلالی و وابستگی نمایی نشان دهنده لایه­بندی چگالی در این اثر است. در این محاسبات d پهنای پالس اولیه است و در محاسبات خود آن را بصورت کسری ازعرض سیخک است در نظر می­گیریم.
برای بررسی نحوه میرایی انرژی و زمان میرایی اموام و نوسانات ۵ دقیقه­ای که بصورت مجموع انرژی جنبشی و مغناطیسی است داریم:
تابعیت زمانی انرژی از طریق وابستگی سرعت و میدان مغناطیسی اختلالی به زمان خواهد بود و به واسطه اختلاط فازی در راستای عرض سیخک وابستگی x پیدا می­ کند.
انرژی کل در واحد طول و راستای عمود بر راستای y به صورت زیر خواهد بود:
با حذف مولفه y خواهیم داشت:
با بهره­ گیری از روش خطی سازی که در فصل قبل به آن پرداختیم و با توجه به فرایضمان شکل مناسب برای حل معادلات MHD رااستخراج می­کنیم و به این نکته توجه می­کنیم که سرعت پلاسما در بررسی شرایط غیرصفر می­باشد.
سه معادله زیر را در نظر می­گیریم و به صورت جداگانه بررسی می­کنیم.
در معادله حرکت صرفا نقش نیروی تنش مغناطیسی را اعمال کردیم
در معادله القا نیز نقش ناهمگنی میدان مغناطیسی و تراکم ناپذیری پلاسما اعمال شده است.
حال به بررسی معادله پیوستگی می­پردازیم:
در نهایت با بسط دادن و حل رابطه خواهیم داشت:
حال به همین روش برای معادله حرکت خواهیم داشت:
= ۰ + ۰
در مدل مذکور مقدار ثابتی دارد که با زمان و مکان تغییر نمی­کند.
حال می­رسیم به معادله القا:
=
→
حال سه معادله حالت، القا و پیوستگی را به شکل زیر در اختیار داریم.
در صورتی که و را در راستای Z در نظر بگیریم و و را در راستای Y در نظر بگیریم در اینصورت می­توانیم روابط فوق را در دستگاه مختصات متعامد بنویسیم.:
با توجه به اینکه در تیوبهای شار چگالی با میدان تغییر میکند داریم:
( ۰ , , ۰) + ( ۰ , ( ۰ , , ۰)+(۰ , ۰ ,
→(
به طریق مشابه داریم:
=
هدف حل سه معادله ذکر شده به شکل تحول یافته آنهاست. به این طریق می­توانیم نوسانات ۵ دقیقه­ای رخ داده در سیخکها را شبیه سازی کرده و نمودار تغییرات سرعت اختلالی و میدان مغناطیسی را نسبت به زمان بررسی کنیم. در این روش با دریافت معادلات و پارامترهای لازم، و شرایط اولیه و مرزی مسئله شبیه­سازی صورت می­گیرد.
در این بررسی مقادیر مشخصه سیخک به شرح زیر است:
شعاع سیخک: a=0.5Mm
پهنای پالس اولیه: d=0.3a=0.15Mm
سرعت آلفون در کف و میانه سیخک:
سرعت زمینه ماده سیخک به سمت بالا:
ضریب کنترل کننده شدت اختلاط فازی: ۲ = α
ضریب چسبندگی جنبشی: υ
ضریب پخش مغناطیسی:=η