وبلاگ

به این دلیل از ∑ استفاده شده که هر کدام از جواب ها به ازای خاص خود صحیح می باشند و عبارت نیز در حقیقت از جواب به صورت
حاصل شده که با صفر شدن ضریب به دلیل شدن باقی می ماند.
در ادامه با بهره گرفتن از شرایط مرزی و اولیه مقادیر و به دست می آیند.
ابتدا از شرط مرزی زیر استفاده می شود:
بعد از آن:
با توجه به اینکه
بنابراین =۰ که از این معادله مقدار به دست می‏‎آید.

شرط اولیه دوم
یا همان شرط
با بهره گرفتن از معادله
برای به دست آوردن از معادله بالا، طرفین را در ضرب کرده و از ۰ تا ۱ انتگرال می‎گیریم.
به این دلیل عبارت را در رابطه بالا حذف می شود که با توجه به خاصیت تعامد توابع بسل^[۲۴]
و فقط در حالتی که m=n باشد، انتگرال صفر نمی شود.
انتگرال با بهره گرفتن از قضایای انتگرال بسل (موجود در کتاب های ریاضی) به صورت زیر محاسبه می شود:
از طرفی با توجه به معادله =۰ :
با قرار دادن در رابطه
پس فقط کافی است را در معادله نهایی
قرار دهیم و به معادله زیر برسیم:
حل عددی از روش تفاضل محدود^[۲۵] به دست می ­آید که به صورت زیر است:
که در آن
در اینجا، N تعداد گره های داخلی در راه حل تفاضل محدود است، F ماتریس ضرایب N × N ، بردار دمای ۱×N و S بردار شناخته شده ۱×N است.
شکل ۱۹ راه حل تحلیلی و عددی را برای توزیع دما بدون بعد در دو نقطه مختلف در داخل رسانه با فرض اینکه اندازه گیری وجود ندارد مقایسه می­ کند (خطا در داده های اندازه گیری وجود ندارد).

شکل ۱۹.a :توزیع دما در R=0

شکل ۱۹.b: توزیع دما در R=1
خط آبی در نمودارها مربوط به حل عددی و نقاط قرمز مربوط به حل تحلیلی می­باشد.
فصل پنجم: شبیه­سازی
اکنون نتایج به دست آمده برای مساله­ی تخمین حالت تحت تجزیه و تحلیل، با بهره گرفتن از آزمایش­های شبیه سازی به دست می­آوریم. اندازه گیری های شبیه سازی شده حاوی خطاهای افزودنی، ناهمبسته، گاوسی، با انحراف استاندارد ثابت هستند. به منظور اعمال فیلتر کالمن، متغیرهای حالت به عنوان دمای گذرا در منطقه داخلی در فواصل گره­های تفاضل محدود در نظر گرفته شده است. برای مدل مشاهده فرض بر این است که متغیر اندازه ­گیری شبیه­سازی شده با یک سنسور واقع در سطح مرز بیرونی در R=1.0 گرفته شده است. متغیرهای حالت که باید تخمین زده شود دمای گذرا در داخل مقطع خط لوله در فاصله گره­های تفاضل مخدود است. شکل ۲۰ نشان دهنده دمای شبیه سازی شده اندازه گیری در سطح مرزی است که در آن انحراف استاندارد برای خطاهای اندازه گیری ثابت و برابر است. اثرات انحراف استاندارد خطاهاه در مدل حالت در زیر تجزیه و تحلیل خواهد شد. این شکل­ها نشان می دهد که توافق بسیار عالی بین دمای پیش بینی شده و دقیق، به عنوان یک نتیجه از خطاهای کوچک در تکامل و مدل مشاهده وجود دارد.
شکل ۲۰
در این آزمایش دماهای پیش ­بینی شده توسط فیلتر کالمن و فیلتر ذره­ای (اجرا شده توسط الگوریتم SIR که در فصل های قبل ذکر شد) به دست می ­آید. برای هر متغیر حالت در فیلتر ذره­ای ۲۰ ذره استفاده شده است.
شکل­های ۲۱ نتایج به­ دست­آمده توسط فیلتر کالمن و فیلتر ذره­ای را برای حالتی که انحراف استاندارد خطای مدل ۰٫۵ºC است را نشان می­دهد.
شکل ۲۱.a
شکل ۲۱.b
شکل ۲۱.c
شکل ۲۱.d
شکل­های ۲۲ نتایج مقایسه­ دماهای دقیق، اندازه ­گیری شده و پیش ­بینی شده را با بهره گرفتن از فیلترهای کالمن و ذره­ای در سه نقطه­ی متفاوت R=0، R=0.5 و R=1.0 نشان می­دهد. در این شکل انحراف استاندارد خطای مدل تکامل ۱ºC در نظر