وبلاگ

که   امین ردیف از ماتریس  است   امین عنصر از  است. بنابراین معادله اندازه‌گیری به صورت زیر نوشته می‌شود:

در نهایت الگوریتم فیلتر کالمن مانند بخش( ‏۳-۲-۴-۲- ) است با این تفاوت که ماتریس‌ها ضرایب و واریانس-کوواریانس دو مدل با هم متفاوت است.

مدل با پرش
ریاضیات مالی دائما دنبال یافتن مدل‌های قیمت است به نحوی که بهترین توضیح را از دینامیک‌های قیمت‌های مشاهده شده ارائه نمائید. بنابراین یکی دیگر از توسعه مدل‌های مورد استفاده در قیمت‌گذاری مشتقات، اضافه کردن فرایند پرش است. حال به تمامی مدلهای که قبلا ذکر شدند می‌توان فرایند پرش را اضافه کرد. فرایند پرش را می‌توان به معادله دیفرانسیلی قیمت نقدی، واریانس، بازدهی آسایش و میانگین بلندمدت اضافه نمود این مسئله بستگی به ماهیت داده ها یا حقایق آشکار شده بستگی دارد. در ادامه به چند مورد از این مدل‌ها اشاره می‌شود.
ارزش گذاری با بهره گرفتن از اختیارات واقعی
ارزش‌گذاری با روش معادلات دیفرانسیل متناهی
مدل تک عاملی قیمت نفت خام
همانطور که در مقدمه فصل ۱ بیان شد در یک میدان نفتی، بر اساس قیمت نقدی نفت ممکن است سه نوع اختیار باز کردن، بستن و رها کردن به وجود آید. هر کدام از این اختیارات دارای ارزش می‌باشند که بدون در نظر گرفتن آنها ممکن است پروژه کمتر از حد براورد شود. بنابراین با بهره گرفتن از تکنیک اختیارات واقعی به ارزش‌گذاری آنها می‌پردازیم. در این مطالعه اختیارات از نوع خرید امریکایی می‌باشد بنابراین اختیار می‌تواند بر اساس حداکثر ارزش حاصله در تاریخ انقضا یا قبل از آن اعمال شود.
برای ارزش‌گذاری، ابتدا تابع سود را تعریف می‌کنیم. ارزش یک میدان نفتی بر اساس جریان‌های درآمدی حاصل از فروش قیمت نفت خام است. زمانی که میدان نفتی در حال فعالیت می‌باشد دارای هزینه‌ است که عمدتا هزینه‌های ثابت و متغیر می‌باشند در این مطالعه فرض می‌شود که هزینه‌ها غیر تصادفی است. هم چنین فرض می‌شود که نرخ استخراج نفت از میدان معادل  باشد. بنابراین تابع سود به صورت زیر تعریف می‌شود:

که در رابطه مذکور مالیات به صورت زیر تعریف می‌شود:

که  معادل قیمت نقدی نفت خام در زمان  می‌باشد. همچنین  و  به ترتیب نرخ حق‌الامتیاز‌‌‌‌‌^[۱۱۸] و نرخ مالیات درآمدی^[۱۱۹] است.
همچنین فرض می‌شود که تولید کننده نفت در فضای رقابتی، با نرخ  بشکه در سال از یک میدان با موجودی  بشکه نفت تولید می کند. فرض می‌شود که  بهینه و مشخص است. بنابراین تغییرات موجودی نفت در بازه زمانی  و  به صورت زیر تعیین می‌شود.

متعلق به بازه  است.
در این میدان نفتی، بهره‌برداری در صورتی که قیمت نقدی نفت خام پایین باشد می‌تواند موقتا به تاخیر بیافتد و در صورتی که قیمت نقدی افزایش یابد، مجددا بهره برداری شود. زمانی که پروژه موقتا بسته می‌شود دو نوع هزینه را باید اعمال کرد اول هزینه اولیه نگهداری پروژه (  ) در زمان تعطیلی است و دو‌می‌‌هزینه تغییر بهره برداری از حالت باز بودن به حالت تعویق افتادن است که با  نشان می‌دهیم اندیس  بیانگر زمان  است. زمانی که از حالت تعویق به حالت تولید حرکت می‌کنیم فرض می‌شود که متحمل یک هزینه تغییر حالت می‌شویم که به صورت  نشان می‌دهیم. همچنین فرض می‌شود که تغییر حالت از تعویق یا تعطیلی موقت و باز بودن به حالت تعطیلی دائم پروژه هیچ هزینه را در بر نمی‌گیرد. بنابراین سه اختیار باز نمودن(  )، بستن(  )، تعطیلی دائم(  ) وجود دارند.
فرض کنید که  حالت اختیار باشد بنابراین  است. در این صورت زوج  بیانگر حالت کلی بهره‌برداری پروژه است. بنابراین در زمان  جریان نقدی حالت بهره برداری  به صورت زیر نوشته می‌شود.

که  و  است. همچنین  بیانگر نرخ تورم است.
همان‌طور که در بالا قید شد انتقال از یک حالت بهره برداری به حالت دیگر دارای هزینه است بنابراین جریان هزینه‌های تغییر حالت در زمان  به صورت زیر نوشته می‌شود.

در این مدل ارزش‌گذاری فرض می‌شود که هزینه‌ها به موجودی  بستگی ندارد.
حال برای استخراج معادله دیفرانسیل مربوط به ارزش پروژه میدان نفتی از روش بلک-شولز برای استخراج ارزش دارایی در حالت ریسک خنثی^[۱۲۰] استفاده می‌نماییم.در مورد یک میدان نفتی ارزش پروژه تابعی از قیمت نقدی نفت خام (  )، سطح موجودی ذخایر (  ) و زمان (  ) است که به صورت زیر بیان می‌شود.

حال با بهره گرفتن از لم ایتو می‌توان دیفرانسیل تابع ارزش فوق را حساب نمودکه به صورت زیر نوشته می‌شود:

تساوی اخر با توجه به خواص حرکت وینر به دست امده است^[۱۲۱]. حال از جایگزینی معادله ‏(۳-۱) و ‏(۳-۱۳۹) در ‏(۳-۱۴۴) داریم:

مجددا با بهره گرفتن از ایده بلک-شولز میتوان یک سبد دارایی( به ارزش  ) شامل  تا قرارداد آتی با ارزش  بر نفت خام و یک میدان نفتی در نظر گرفت. بنابراین تغییرات در ارزش سبد دارایی معادل با تغییرات در ارزش میدان نفتی و قراردادهای اتی بعلاوه درآمدها پس از کسر مالیات می‌باشد^[۱۲۲]. بنابراین داریم:

تحت فرض ریسک خنثی  می‌باشد بنابراین داریم :

از طرفی  تحت مارتینگل در شرایط ریسک خنثی معادل است با:

حال با جایگزینی ‏(۳-۱۴۴)، ‏(۳-۱۴۷) و در نظر گرفتن  در ‏(۳-۱۴۶) و مرتب کردن داریم:

حال با توجه به اینکه تحت اختیار بازکردن میدان نفت و بستن میدان نفت جریان درآمدی  و نرخ استخراج فرق می‌کند بنابراین معادله دیفرانسیل ‏(۳-۱۴۸) با اعمال هریک از این اختیارات متفاوت خواهد بود. فرض می‌کنیم که ارزش پروژه تحت اختیار باز کردن و بستن به ترتیب  و  باشد. در این صورت برای اختیار باز کردن پروژه کافی است که  را به  تبدیل نماییم. بنابراین معادله دیفرانسیل در حالت باز بودن میدان به صورت زیر نوشته می‌شود.

در حالتی که میدان نفتی بسته است بنابراین نرخ استخراج معادل صفر است. در نتیجه معادله دیفرانسیل تصادفی برای حالت بستن به صورت زیر نوشته می‌شود:

تغییر اختیار از یک حالت به حالت دیگر، در قیمت‌های متفاوتی انجام می‌گیرند که قیمت تغییر اختیار از حالت باز به بسته و اختیار بسته به باز را به ترتیب با  با  نشان می‌دهیم. برای تغییر حالت از باز یا بسته به حالت رها کردن به ترتیب با  و  نشان می‌دهیم.
برای حل دو معادله دیفرانسیل فوق از روش‌هایی مانند روش درختی و معادلات دیفرانسیل جزئی و روش مونت‌کارلو می‌توان استفاده کرد. چون در این معادلات دیفرانسیل، فقط یک عامل ریسکی(قیمت نقدی) وجود دارد بنابراین استفاده از روش معادلات دیفرانسیل جزئی مناسب است. کاربرد این روش به مجموعه ای از شرایط اولیه و مرزی نیاز دارد که به صورت زیر بیان می‌شوند: