وبلاگ

فرض کنید یک تابع توزیع پیوسته با عمق باشد، داریم:
(۲-۲)
و اگر اکیدا صعودی باشد با توجه به روابط (۲-۱) و (۲-۲) خواهیم داشت:
اما در حالت کلی یعنی اگر شرط اکیدا صعودی را نداشته باشیم آنگاه:
با توجه به توضیحاتی که گفته شد، کوچکترین ناحیه ی درونی با احتمال بزرگتر یا مساوی وجود دارد که توسط نمایش داده می شود و ناحیه ی مرکزی ام نامیده می شود.
۲-۲-۱-۴- ناحیه ی بیرونی ام
برای هر ناحیه ی بیرونی را توسط رابطه زیر تعریف می کنیم:

.
که در آن منظور از ، تکیه گاه می باشد.
کمترین عمق کرانه ای که احتمال ناحیه ی بیرونی بزرگتر از دارد را توسط نشان می دهیم:
با توجه به اینکه ، بنابراین داریم:
,
و در نتیجه
.
تعریف۲-۱- کانتور عمق
به کرانه یعنی نقاط مرزی ، کانتور عمق می گوئیم. علت این نامگذاری این است که ناحیه های درونی بر اساس تابع عمق ساخته شده اند.
۲-۲-۱-۵- سطوح چندکی بر اساس عمق
برای کانتور عمق را به عنوان تابع چندکی ای می توان تفسیر کرد که با بهره گرفتن از رابطه
مشخص می شود و آن را سطح چندک ام می نامیم.
حالا با مشخص کردن نقاط روی در جهت از یک تابع چندکی حاصل می شود که در آن می باشد و شرط ۱و۲ تابع چندکی که در بخش ۱-۲-۲ بحث شد را دارد.
ناحیه های درونی چندک ام به آسانی به عنوان ناحیه های مرتبط با عمق بالاتر تفسیر می شوند که نقاط مرزی دارای عمق و نقاط درونی دارای عمق بزرگتر یا مساوی هستند. بدین صورت شرط سوم تابع چندکی، گفته شده در بخش ۱-۲-۲، نیز به خوبی حاصل می شود. با بهره گرفتن از توابع عمق متفاوت، نسخه های متفاوت توابع چندکی حاصل می شوند.
۲-۳- نتیجه گیری
در این فصل تابع چندکی را بر اساس تابع عمق بدست آوردیم و هر سه خاصیت تابع چندکی، گفته شده در بخش ۱-۲-۲ نیز برقرار بودند. از اینرو تابع عمق در بدست آوردن تابع چندکی بسیار کارا است. در ضمن می دانیم که تابع چندکی ویژگی های خوب بسیاری را در اختیار ما می گذارد که می توانیم از طریق آنها چندک های چند متغیره را بطور مناسبی پیدا کنیم.
فصل سوم
چندک های چند متغیره براساس مینیمم کردن نرم
۳-۱- مقدمه
فرگوسن در سال ۱۹۶۷ با مینیمم کردن رابطه
(۳-۱)
نسبت ، چندک تک متغیره معمولی را بدست آورد. در سال ۱۹۹۲ ابدوس و تئودورس و در سال ۱۹۹۶ چادوری به طور متفاوت، رابطه (۳-۱) را به چند متغیره بسط داده اند. در این فصل ما این دو روش متفاوت از توسیع (۳-۱) برای حالت چند متغیره را معرفی کرده و برای هر روش، وجود تابع چندکی را مورد بررسی قرار می دهیم.
۳-۲-۱- روش ابدوس و تئودورس^[۱] (۱۹۹۲)
از آنجا که در رابطه (۳-۱) تابع قدر مطلق بکار گرفته شده است یک تعمیم طبیعی این می باشد که در فضای با بعد بالاتر به جای قدر مطلق از یک نرم خاص استفاده شود. ابدوس و تئودورس در سال ۱۹۹۲ برای و تابع نرم را بدین صورت تعریف کردند:
که در آن نرم اقلیدسی روی است که می توان فرم های مختلفی را برای آن در نظر گرفت ولی در این پایان نامه به فرم زیر محاسبه می شود:
چندک ام، ، زمانیکه باشد از مینیمم کردن
، بدست می آید. بنابراین برای هر در نرم ، چندک های برداری تعریف شده هم جهت و هم بزرگی (مقدار) دارند و توسط دسته بندی می شوند و برای ثابت ، با در نظر گرفتن متغیر در بازه و قرار دادن به عنوان تابع مورد نظر یک رویه در با چندک های مرکزی و انتهایی متناظر با کوچکترین و بزرگترین مقدار ، ، تولید می شوند که در بخش ۳-۲-۲ بیشتر به آن خواهیم پرداخت. به عنوان حالت خاص اگر = ۱ و باشد، آنگاه:
(۳-۲)
باید (۳-۲) را روی مینیمم کنیم، بنابراین از این رابطه مشتق می گیریم و چون تابع داخل انتگرال نامنفی و پیوسته است، مشتق را وارد انتگرال می کنیم:
از برابر صفر قرار دادن عبارت حاصل خواهیم داشت:
بنابراین، در فضای یک بعدی با مینیمم کردن در رابطه ۳-۲ چندک ام بدست می آید. با تعمیم این روند به فضای چند بعدی، چندکهای چند متغیره حاصل می شود.
برای ، را بردار چندک های ام تک متغیره کناری می نامیم. برای = ، به میانه ی فضایی گفته می شود.
۳-۲-۲- بررسی تابع چندکی توسط چندک های
در این بخش وجود تابع چندکی توسط چندک های برای ثابت را بررسی می کنیم. بنابراین ابتدا از میانه که در اینجا می باشد به عنوان نقطه ی شروع فرمول تابع چندکی استفاده می کنیم. متاسفانه یک خانواده از ناحیه های درونی تودرتو دیده نمی شود. برای مثال، مجموعه های برای را در نظر بگیرید. برای ثابت، یک منحنی در است. بنابراین برای ثابت منحنی دارای ساختار تودرتو نمی باشد، یعنی اینکه برای ساختن تابع چندکی بایستی میانه، که در اینجا می باشد مرکز واقع گردد و با جهت دادن از مرکز، ناحیه های تودرتو شکل بگیرد و همگی حول مرکز واقع گردند که در اینجا چنین چیزی رخ نمی دهد. به عبارت دیگر، احتمال اینکه ناحیه ی درونی چندک ام اتفاق بیفتد صفر است و بنابراین خواص ۱و۳ گفته شده در بخش ۱-۲-۲ را دارا نمی باشد. در نتیجه، نمی توانیم یک تابع چندکی توسط چندک های داشته باشیم.
۳-۳-۱- روش چادوری^[۲]
چادوری در سال ۱۹۹۶، رابطه (۳-۱) را از طریق یک تفسیر متفاوت به بسط داده است. ابتدا (۳-۱) را به شکل دیگری باز نویسی می کنیم:
که در آن می باشد. بنابراین چندک ام برای توسط دسته بندی می شود. با توسیع به حالت چند متغیره، کره ی واحد باز حاصل می شود و توسط آن چندک های بعدی تشکیل می شوند.
روش چادوری در بدست آوردن چندک چند متغیره به صورت زیر می باشد:
چندک ام() ، ، حاصل می گردد هرگاه() ، –) }را می نیمم کند که در اینجا می باشد که در اینجا منظور از ، ضرب داخلی روی فضای می باشد.