در این مدل درایه‌های ماتریس ثابت نمی‌باشد زیرا وابسته به زمان است بنابراین برای تخمین متغیرها وضعیت و پارامترها از فیلتر کالمن بسط یافته[۱۱۲] استفاده شود.
مدل استین- استین
در این مدل نیز همانند مدل قبلی فرض می‌شود که قیمت نقدی از فرایند برآونی تصادفی پیروی می‌کند همچنین واریانس قیمت نقدی نیز از یک فرایند تصادفی برگشت به میانگین پیروی می‌کند. تفاوت این مدل با مدل هستون در نحوه وارد نمودن واریانس تصادفی به عنوان ضریب پخش(ضریب جز وینر) می‌باشد در مدل هستون به صورت ریشه دوم واریانس قرار می‌گرفت اما در مدل استین- استین به صورت واریانس وارد می‌شود. بنابراین مدل استین- استین به صورت زیر نوشته می‌شود:
در مدل فوق نیز اجزا همانند مدل قبلی تعریف می‌شوند. برای تخمین پارامترهای (۳-۴۱) نیز ابتدا از لم ایتو استفاده کرده و سپس با بهره گرفتن از روش گسسته‌سازی به صورت زیر نوشته می‌شود:
که لگاریتم قیمت نقدی نفت خام است. سیستم معادلات (۳-۴۲) در فرم خلاصه به صورت زیر نوشته می‌شود:
در فرم ماتریسی (۳-۴۳) ماتریس ضریب و ثابت نمی‌باشند بنابراین برای تخمین بایستی از فیلتر کالمن بسط یافته استفاده کرد.
جمله خطا دارای میانگین صفر و ماتریس واریانس-کوواریانس می‌باشد که ماتریس به صورت زیر می‌باشد.
معادله اندازه‌گیری همانند بخش‌های قبلی معرفی می‌شود. یعنی داریم:
مدل با میانگین تصادفی
در این مدل میانگین به صورت یک معادله دیفرانسیل تصادفی در کنار سایر عوامل تصادفی (قیمت نقدی، بازدهی آسایش، ) ذکر می‌شود. اگر فرض شود میانگین دارای مدل تصادفی برگشت به سطح بلند مدتش باشد و فقط قیمت نقدی تنها عامل تصادفی باشد. بنابراین داریم:
که ، و به ترتیب بیانگر سطح بلند مدت میانگین، سرعت بازگشت به میانگین بلند مدت و انحراف معیار میانگین می‌باشند. استخراج مدل فضای حالت مشابه مدل ارائه شده در بخش ( ۳-۲-۱-۳- ) می‌باشد.
مدل چند کالایی
مدل تک عاملی دو کالایی
در این مدل عامل تصادفی قیمت نقدی گاز طبیعی و نفت خام است. چون در این مطالعه هدف بررسی اثرات دینامیک قیمت نقدی گاز ( ) بر ارزش میدان نفت با اختیارات رها کردن، بستن، باز کردن است. بنابراین نیاز است قیمت گاز نیز به صورت یک معادله دیفرانسیل تصادفی به همراه قیمت نفت خام مدل‌سازی شود تا بتوان اثرات آن را بر ارزش میدان نفتی مطالعه کرد. به پیروی از منابع موجود، برای قیمت نقدی گاز طبیعی معادله دیفرانسیل تصادفی از نوع برگشت به میانگین را در نظر می‌گیریم[۱۱۳]. بنابراین مدل تک عاملی دو کالایی با فرض ریسک خنثایی به صورت زیر نوشته می‌شود.
در سیستم معادلات (۳-۴۷) بیانگر قیمت نقدی برای است. همچنین بیانگر سرعت برگشت به میانگین و بیانگر سطح بلند قیمت نقدی گاز طبیعی است و بیانگر دیفرانسیل جز وینر برای است. فرض می‌شود که اجزا وینر دارای همبستگی می‌باشند بنابراین داریم:
که ضریب همبستگی است. بیانگر امید ریاضی است. با بکارگیری لم ایتو برای معادله دیفرانسیل قیمت نقدی نفت داریم:
همانند بخش قبلی فرض می‌شود که قیمت نقدی نفت خام و بازدهی اسایش به صورت مستقیم قابل مشاهده نیست بنابراین با بهره گرفتن از فیلتر کالمن باید متغیرهای حالت (غیر قابل مشاهده) را به همراه سایر پارامترهای موجود تخمین زد. برای این امر ابتدا مدل فضای حالت را بدست می‌آوریم. معادله انتقال با گسسته سازی (۳-۴۹) و مرتب سازی در فرم ماتریسی به صورت زیر نوشته می‌شود:
که
برای سادگی به صورت زیر نوشته می‌شود:
که ماتریس جملات خطا می‌باشد که داری توزیع نرمال با میانگین صفر و ماتریس واریانس-کوواریانس به شکل زیر می‌باشد:
معادله دو‌می معادله اندازه‌گیری است برای قیمت نقدی نفت خام این معادله دقیقا مانند مدل (۳-۴) نوشته می‌شود بنابراین داریم:
با لگاریتم گرفتن از طرفین برای قیمت‌های آتی مشاهده شده داریم:
ولی برای قیمت نقدی گاز طبیعی چون فرایند تصادفی برگشت به میانگین را در نظر گرفته ایم به صورت زیر استخراج می‌شود.
در فرم ماتریس به شکل زیر نوشته می‌شود
در فرم خلاصه ماتریس به صورت زیر بیان می‌شود:
که جمله خطا است و دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و ماتریس واریانس-کوواریانس[۱۱۴] زیر می‌باشد:
بنابراین با داشتن معادله انتقال و اندازه‌گیری می‌توان با بهره گرفتن از فیلتر کالمن و قیمت قراردادهای اتی نفت خام گاز طبیعی با سررسید یک ماهه به تخمین مجموعه پارامترها و متغیرهای حالت پرداخت.
مدل دو عاملی دو کالایی
این مدل شامل یک مدل دو عاملی است که یکی از این عوامل ریسکی قیمت نقدی ( ) همان کالا است. اما از آنجا که مدل‌های قیمت‌گذاری کالا با مدل‌ها قیمت‌گذاری سهام متفاوت هستند. بنابراین در مدل‌های قیمت‌گذاری سهام باید یک سری تغییرات داده شود. یکی از دلایل تفاوت مذکور این است که در بازار کالا قیمت کالا تابعی از شرایط تولید کالا است. از طرف دیگر اکثر کالاهای تولیدی (در بازار انرژی به جز برق) قابلیت ذخیره‌سازی دارند. بنابراین در صورت نگهداری آنها منافعی برای نگهدارنده آن ایجاد می‌شود که در صورت خرید از بازارهای آتی به صورت قرارداد آتی ایجاد نخواهد شد. این منافع بر حسب نرخ تحت عنوان بازدهی آسایش( ) نام‌گذاری می‌شود. فرض می‌شود که قیمت نقدی کالای از فرایند تصادفی برآونی هندسی پیروی نماید و برای بازدهی آسایش کالای ام، فرض می‌شود که از حرکت تصادفی برگشت به سطح بلند مدت پیروی می‌کند. بنابراین مدل دو عاملی برای دو کالای نفت(کالای ۱) و گاز طبیعی(کالای ۲) به صورت زیر نوشته می‌شود.
فرم در حال بارگذاری ...
